Usando o teorema da Seção 21, mostre que cada uma dessas funções não é analítica em ponto algum.
;
Passo 1
O enunciado define a função
por
onde escrevemos
. Queremos mostrar que
não é analítica em ponto algum, usando o Teorema da Seção 21 (as equações de Cauchy–Riemann).
Passo 2
Pelo Teorema de Cauchy–Riemann, se
fosse analítica num ponto
, as funções reais
deveriam satisfazer
além de as derivadas parciais serem contínuas (o que aqui de fato acontece em todo
).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Impondo as equações de Cauchy–Riemann:
Logo, as equações só se satisfazem no ponto
.
Passo 5
Mesmo que num ponto isolado as equações se verifiquem, analiticidade exige que elas se cumpram numa vizinhança aberta desse ponto. Aqui não existe nenhum aberto em que
e
ao mesmo tempo. Portanto
não é analítica em nenhum ponto.
Resposta
A função
não é analítica em ponto algum.