Usando o teorema da Seção 21, mostre que cada uma dessas funções não é analítica em ponto algum.
f(z)=x y+i y;

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} por
f(z)=xy+i\,y,
onde escrevemos z=x+i y. Queremos mostrar que f não é analítica em ponto algum, usando o Teorema da Seção 21 (as equações de Cauchy–Riemann).

Passo 2

Pelo Teorema de Cauchy–Riemann, se f fosse analítica num ponto (x,y), as funções reais
u(x,y)=x\,y \quad\text{e}\quad v(x,y)=y
deveriam satisfazer
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x,
além de as derivadas parciais serem contínuas (o que aqui de fato acontece em todo \mathbb{R}^2).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y, \quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(y)=0, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(y)=1.

Passo 4

Impondo as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \;\Longrightarrow\; y = 1,
u_y = -\,v_x \;\Longrightarrow\; x = -0 \;\Longrightarrow\; x = 0.
Logo, as equações só se satisfazem no ponto (x,y)=(0,1).

Passo 5

Mesmo que num ponto isolado as equações se verifiquem, analiticidade exige que elas se cumpram numa vizinhança aberta desse ponto. Aqui não existe nenhum aberto em que u_x=v_y e u_y=-v_x ao mesmo tempo. Portanto f não é analítica em nenhum ponto.

Resposta

A função f(z)=xy+i\,y não é analítica em ponto algum.

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