Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para determinar se a série
converge, diverge ou se o método não nos dá uma informação conclusiva. Para isso, vamos revisar brevemente como funcionam esses testes e aplicar cada um deles na nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar o Teste da Razão. Esse teste verifica o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar ak = ln kk na nossa série:
ak+1 = ln (k+1)k+1
Agora, calculamos :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty ln (k+1)k+1 cdot kln k = limk to infty k ln (k+1)(k+1) ln k
Simplificando:
L = limk to infty ln (k+1)ln k cdot kk+1
Passo 5
Vamos analisar cada parte do limite separadamente.
Primeiro, olho para limk to infty ln (k+1)ln k = 1 :
limk to infty kk+1 = 1
Isso ocorre porque, para muito grande, e são quase iguais.
Segundo, olho para :
Passo 6
Multiplicando os dois limites:
L = 1 cdot 1 = 1
Portanto, temos:
limk to infty | ak+1ak | = 1
Passo 7
Como o limite L = limk to infty raiz[k]|ak| , o Teste da Razão não nos dá uma conclusão. Então, vamos tentar o Teste da Raiz.
O Teste da Raiz analisa o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 8
Vamos calcular raiz[k]ln kk = ( ln kk )^1/k = (ln k)^1/kk^1/k :
limk to infty k^1/k = 1 e limk to infty (ln k)^1/k = 1
Sabemos que:
L = 11 = 1
Portanto:
Passo 9
Novamente, o limite nos deixa sem uma conclusão com o Teste da Raiz.
Resposta
Os Testes da Razão e da Raiz são inconclusivos para determinar a convergência ou divergência da série
sumk=2^infty ln kk
Neste caso, seria necessário aplicar outro método de teste de convergência para obter a resposta definitiva.