Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=2^infty ln kk

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para determinar se a série
sumk=2^infty ln kk
converge, diverge ou se o método não nos dá uma informação conclusiva. Para isso, vamos revisar brevemente como funcionam esses testes e aplicar cada um deles na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o Teste da Razão. Esse teste verifica o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
L = limk to infty | ak+1ak |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar ak = ln kk na nossa série:
ak+1 = ln (k+1)k+1
Agora, calculamos :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty ln (k+1)k+1 cdot kln k = limk to infty k ln (k+1)(k+1) ln k
Simplificando:
L = limk to infty ln (k+1)ln k cdot kk+1

Passo 5

Vamos analisar cada parte do limite separadamente.
Primeiro, olho para limk to infty ln (k+1)ln k = 1 :
limk to infty kk+1 = 1
Isso ocorre porque, para muito grande, e são quase iguais.
Segundo, olho para :

Passo 6

Multiplicando os dois limites:
L = 1 cdot 1 = 1
Portanto, temos:
limk to infty | ak+1ak | = 1

Passo 7

Como o limite L = limk to infty raiz[k]|ak| , o Teste da Razão não nos dá uma conclusão. Então, vamos tentar o Teste da Raiz.
O Teste da Raiz analisa o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 8

Vamos calcular raiz[k]ln kk = ( ln kk )^1/k = (ln k)^1/kk^1/k :
limk to infty k^1/k = 1 e limk to infty (ln k)^1/k = 1
Sabemos que:
L = 11 = 1
Portanto:

Passo 9

Novamente, o limite nos deixa sem uma conclusão com o Teste da Raiz.

Resposta

Os Testes da Razão e da Raiz são inconclusivos para determinar a convergência ou divergência da série
sumk=2^infty ln kk
Neste caso, seria necessário aplicar outro método de teste de convergência para obter a resposta definitiva.

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