Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty cos ^k 1raizk

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma série infinita: . O objetivo é usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para descobrir se essa série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara.
Pra resolver isso, a gente precisa saber como aplicar esses testes de convergência e entender um pouco de limites e propriedades das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que são o Teste da Razão e o Teste da Raiz.
  • Teste da Razão: A gente olha o limite de quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não conclui nada.
  • Teste da Raiz: Aqui, a gente calcula o limite de quando vai para o infinito. Assim como no teste da razão: se for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Vamos tentar aplicar esses testes na nossa série.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: cos 1raizk approx 1 - 12k .
Vamos simplificar esse termo. Sabemos que ak approx (1 - 12k)^k pode ser aproximado por quando é próximo de 0. Aqui, , que vai para 0 quando aumenta. Então, podemos aproximar:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de limk to infty (1 - 12k)^k = e^-1/2 quando tende ao infinito.
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Ajustando para o nosso caso, temos .
Como esse limite é uma constante positiva diferente de zero ( ), isso nos dá uma pista importante para os testes.

Passo 5

Vamos aplicar agora o Teste da Raiz. Calculamos:
limk to infty raiz[k]|ak| = limk to infty raiz[k]cos^k 1raizk = limk to infty cos 1raizk = cos 0 = 1
O limite é igual a 1, então o Teste da Raiz não nos dá informação conclusiva.

Passo 6

Vamos tentar o Teste da Razão. Calculamos:
limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | cos^k+1 1raizk+1cos^k 1raizk | = limk to infty cos 1raizk+1 cdot ( cos 1raizk+1cos 1raizk )^k
Essa expressão é bem complicada para analisar diretamente, e não nos leva a uma conclusão clara.

Passo 7

Como tanto o Teste da Raiz quanto o Teste da Razão não nos deram uma resposta definitiva sobre a convergência da série, isso significa que esses métodos não são conclusivos para esse caso específico.

Resposta

O Teste da Razão e o Teste da Raiz não fornecem informação conclusiva sobre a convergência ou divergência da série .

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