Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
X' = (0 2; -1 3) X + (1, -1) e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a variação de parâmetros. O enunciado nos dá o sistema:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear não homogêneo de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes:

Passo 3

Vamos encontrar os valores próprios lambda resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada valor de lambda.
Para :
Resolvendo , temos:
Podemos escolher , então o vetor próprio é:
Para :
Resolvendo , temos:
Podemos escolher , então o vetor próprio é:

Passo 5

Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema não homogêneo usando a variação de parâmetros. A ideia é supor que as constantes e sejam funç��es de t.
Então, consideramos:

Passo 7

Derivamos :

Passo 8

Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema de equações para e :

Passo 9

Resolvendo o sistema, temos:
Multiplicando a segunda equação por -2 e somando com a primeira:
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos tomar :
Agora, substituímos na segunda equação:
Integrando:
Novamente, tomamos para a solução particular:

Passo 10

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral do sistema:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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