Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em -\infty, +\infty
dx/dt = 2x + 3y - 7; dy/dt = -x - 2y + 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de sistemas lineares não homogêneos. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar a solução geral da parte homogênea e depois determinar uma solução específica que se ajusta ao termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais dado:
Nosso objetivo é encontrar as funções e que satisfazem esse sistema para todo no intervalo .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorando os termos constantes (-7 e +5):
Para resolver isso, escrevemos o sistema em forma matricial:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores do matriz dos coeficientes para determinar as soluções da parte homogênea. Calculamos o determinante da matriz :
Resolvendo a equação característica:
Os autovalores são complexos puros, e .

Passo 5

Com autovalores complexos, a solução geral da parte homogênea é dada por:
Para encontrar as expressões de em termos de , voltamos ao sistema homogêneo:
Substituindo :
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:

Passo 6

Agora, encontramos a solução particular do sistema original. Vamos supor que as soluções particulares têm a forma de constantes, já que os termos não homogêneos são constantes:
Substituindo e nas equações originais:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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