Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de sistemas lineares não homogêneos. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais, encontrar a solução geral da parte homogênea e depois determinar uma solução específica que se ajusta ao termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais dado:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem esse sistema para todo
no intervalo
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorando os termos constantes (-7 e +5):
Para resolver isso, escrevemos o sistema em forma matricial:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores do matriz dos coeficientes para determinar as soluções da parte homogênea. Calculamos o determinante da matriz
:
Resolvendo a equação característica:
Os autovalores são complexos puros,
e
.
Passo 5
Com autovalores complexos, a solução geral da parte homogênea é dada por:
Para encontrar as expressões de
em termos de
, voltamos ao sistema homogêneo:
Substituindo
:
Resolvendo essa equação diferencial, obtemos:
Passo 6
Agora, encontramos a solução particular do sistema original. Vamos supor que as soluções particulares têm a forma de constantes, já que os termos não homogêneos são constantes:
Substituindo
e
nas equações originais:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.