Após a realização de testes em um sistema desconhecido, foi determinado que sua resposta ao impulso é dada por h(t)=\left(2 e^{-t}-e^{-2 t}\right) u(t). Qual será a resposta do mesmo sistema à entrada x(t)=2 e^{-2 t} u(t), sabendo que o processo é linear e invariante no tempo?

Passo 1

O enunciado dá o sistema LTI causal com resposta ao impulso
h(t) = \bigl(2e^{-t} - e^{-2t}\bigr)\,u(t)
e a entrada
x(t) = 2e^{-2t}\,u(t)\,.
Pergunta-se a saída y(t). Como o sistema é linear e invariante no tempo, basta computar a convolução
y(t) = (h * x)(t)\,.

Passo 2

Para facilitar, vamos usar transformada de Laplace. Chamando por H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, temos:
H(s) = 2\cdot\frac{1}{s+1} \;-\;\frac{1}{s+2}
(pois \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=1/(s+a)), e
X(s) = 2\cdot\frac{1}{s+2}\,.

Passo 3

A transformada da saída é
Y(s) = H(s)\,X(s) = \Bigl(2\cdot\frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}\Bigr)\;\cdot\;2\cdot\frac{1}{s+2} = \frac{4}{(s+1)(s+2)} \;-\;\frac{2}{(s+2)^2}\,.
Agora fazemos frações parciais em
\frac{4}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}\,.
Temos 4 = A(s+2) + B(s+1). Escolhendo s=-1 4 = A\cdot1\Rightarrow A=4, e s=-2 4 = B\cdot(-1)\Rightarrow B=-4.
Portanto
\frac{4}{(s+1)(s+2)} = \frac{4}{s+1} - \frac{4}{s+2}\,,
e assim
Y(s) = \frac{4}{s+1} - \frac{4}{s+2} - \frac{2}{(s+2)^2}\,.

Passo 4

Invertendo cada termo:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{4/(s+1)\} = 4e^{-t}u(t).
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{-4/(s+2)\} = -4e^{-2t}u(t).
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{-2/(s+2)^2\} = -2\,t\,e^{-2t}u(t).
Somando, obtemos
y(t) = \bigl[\,4e^{-t} \;-\;4e^{-2t} \;-\;2t\,e^{-2t}\bigr]\,u(t) = \bigl[\,4e^{-t} - (4 + 2t)e^{-2t}\bigr]\,u(t)\,.

Resposta

y(t) = \bigl[\,4e^{-t} - (4 + 2t)e^{-2t}\bigr]\,u(t)\,.

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