Determine a solução
da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
com condições iniciais
e
.
O método consiste em: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular, (iii) somar ambas e (iv) ajustar as constantes pelos valores iniciais.
O método consiste em: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular, (iii) somar ambas e (iv) ajustar as constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
cuja solução dá
e
. Logo
Passo 3
Procuramos uma solução particular
do tipo
pois o termo forçante é
e
não é raiz da característica. Calculamos
e substituímos em LHS:
Para igualar a
precisamos de
, ou seja
. Assim
Passo 4
A solução geral é
Derivando para usar
:
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais em
e de
vem
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda, obtemos
.