Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(4,-3),(3,2)\}

Passo 1

O enunciado dá a base B=\{(4,-3),(3,2)\} em \mathbb{R}^2 e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt, na ordem dada, para obter uma base ortonormal.
Informações relevantes:
  • Vetor v_1=(4,-3).
  • Vetor v_2=(3,2).
  • Ordem a usar: primeiro v_1, depois v_2.
    O objetivo final é obter dois vetores unitários e mutuamente ortogonais formados a partir de v_1 e v_2.

Passo 2

Explicando o método (fórmulas que vamos usar) de forma passo a passo e bem didática.
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^2: para dois vetores (x_1,x_2) e (y_1,y_2),
\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1y_1+x_2y_2.
Isto é só a soma dos produtos das coordenadas.
  • Norma de um vetor u (comprimento):
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle}.
Significa: calcule o produto interno do vetor consigo mesmo e tire raiz quadrada.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor não nulo u:
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Isto pega a componente de v na direção de u.
  • Gram–Schmidt (para dois vetores na ordem dada):
u_1 = v_1, \qquad e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|},
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2), \qquad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}.
Ao final, \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal. Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados.

Passo 3

Calcular u_1 e normalizar para obter e_1.
  • Tomamos u_1=v_1=(4,-3).
  • Norma de u_1:
\|u_1\|=\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle} =\sqrt{4^2+(-3)^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5.
  • Normalizando:
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{5}(4,-3)=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).

Passo 4

Calcular a projeção de v_2 sobre u_1.
  • Primeiro o produto interno \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 3\cdot 4 + 2\cdot(-3) = 12-6 = 6.
  • Produto interno \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = 4^2+(-3)^2 = 25.
  • Assim a projeção é
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 =\frac{6}{25}(4,-3)=\left(\frac{24}{25},-\frac{18}{25}\right).

Passo 5

Calcular u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2) e sua norma.
  • Subtração:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) =(3,2)-\left(\frac{24}{25},-\frac{18}{25}\right) =\left(3-\frac{24}{25},\,2+\frac{18}{25}\right).
  • Colocando em denominador comum 25:
3-\frac{24}{25}=\frac{75-24}{25}=\frac{51}{25}, \qquad 2+\frac{18}{25}=\frac{50+18}{25}=\frac{68}{25}.
Logo
u_2=\left(\frac{51}{25},\frac{68}{25}\right)=\frac{1}{25}(51,68).
  • Norma de u_2:
\|u_2\|=\sqrt{\left(\frac{51}{25}\right)^2+\left(\frac{68}{25}\right)^2} =\frac{1}{25}\sqrt{51^2+68^2}.
Calculemos 51^2 e 68^2:
51^2=2601,\qquad 68^2=4624,\qquad 2601+4624=7225.
Logo
\|u_2\|=\frac{1}{25}\sqrt{7225}=\frac{1}{25}\cdot 85=\frac{85}{25}=\frac{17}{5}.

Passo 6

Normalizar u_2 para obter e_2.
  • Dividindo componente a componente:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|} =\frac{\left(\tfrac{51}{25},\tfrac{68}{25}\right)}{\tfrac{17}{5}} =\left(\frac{51}{25}\cdot\frac{5}{17},\;\frac{68}{25}\cdot\frac{5}{17}\right).
Simplificando:
\frac{51\cdot 5}{25\cdot 17}=\frac{51}{85}=\frac{3}{5}, \qquad \frac{68\cdot 5}{25\cdot 17}=\frac{68}{85}=\frac{4}{5}.
Portanto
e_2=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 7

Verificação rápida de ortonormalidade (controle, para confiar no resultado).
  • Produto interno \langle e_1,e_2\rangle:
\left\langle\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right),\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\rangle =\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}+(-\frac{3}{5})\cdot\frac{4}{5} =\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=0.
Orthogonalidade confirmada.
  • Normas:
\|e_1\|=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+9}{25}}=1,
\|e_2\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9+16}{25}}=1.
São unitários. Logo \{e_1,e_2\} é de fato uma base ortonormal.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)
\displaystyle \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)

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