Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O enunciado dá a base
em
e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt, na ordem dada, para obter uma base ortonormal.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Vetor
. - Vetor
. - Ordem a usar: primeiro
, depois .
O objetivo final é obter dois vetores unitários e mutuamente ortogonais formados a partir dee .
Passo 2
Explicando o método (fórmulas que vamos usar) de forma passo a passo e bem didática.
- Produto interno padrão em
: para dois vetores e ,
Isto é só a soma dos produtos das coordenadas.
- Norma de um vetor
(comprimento):
Significa: calcule o produto interno do vetor consigo mesmo e tire raiz quadrada.
- Projeção de um vetor
sobre um vetor não nulo :
Isto pega a componente de
na direção de
.
- Gram–Schmidt (para dois vetores na ordem dada):
Ao final,
é uma base ortonormal. Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados.
Passo 3
Calcular
e normalizar para obter
.
-
Tomamos
. -
Norma de
:
- Normalizando:
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
.
- Primeiro o produto interno
:
- Produto interno
:
- Assim a projeção é
Passo 5
Calcular
e sua norma.
- Subtração:
- Colocando em denominador comum
:
Logo
- Norma de
:
Calculemos
e
:
Logo
Passo 6
Normalizar
para obter
.
- Dividindo componente a componente:
Simplificando:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida de ortonormalidade (controle, para confiar no resultado).
- Produto interno
:
Orthogonalidade confirmada.
- Normas:
São unitários. Logo
é de fato uma base ortonormal.