Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
B=\{(1,0,0),(1,1,1),(1,1,-1)\}

Passo 1

O enunciado dá uma base B do espaço \mathbb{R}^3 com três vetores, na ordem indicada, e pede para transformá‑la em uma base ortonormal usando esses vetores nessa mesma ordem. Os vetores dados são:
v_1 = (1,0,0),\qquad v_2 = (1,1,1),\qquad v_3 = (1,1,-1).
O objetivo é produzir vetores unitários \,e_1,e_2,e_3 tais que cada e_i seja ortogonal aos anteriores e tenha norma 1, usando o processo de ortogonalização na ordem v_1,v_2,v_3.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas). O procedimento de Gram–Schmidt transforma uma sequência de vetores linearmente independentes \{v_1,v_2,\dots\} numa sequência ortonormal \{e_1,e_2,\dots\} assim:
  • Primeiro define-se um vetor intermediário u_1 = v_1 e normaliza-se e_1 = \dfrac{u_1}{\|u_1\|}.
  • Em geral, para cada novo vetor v_k calcula‑se a sua parte ortogonal aos anteriores subtraindo as projeções sobre os u_j já obtidos:
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \operatorname{proj}_{u_j}(v_k),
onde a projeção de v sobre u é dada por
\operatorname{proj}_{u}(v) = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle x,y\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^3: \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. Depois obtemos o vetor unitário
e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|},
onde \|u_k\|=\sqrt{\langle u_k,u_k\rangle}. Vou aplicar exatamente essas fórmulas passo a passo com contas detalhadas.

Passo 3

Processo para o primeiro vetor.
Definimos
u_1 = v_1 = (1,0,0).
Calculamos a norma:
\|u_1\| = \sqrt{\langle u_1,u_1\rangle} = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = \sqrt{1} = 1.
Normalizando:
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{(1,0,0)}{1} = (1,0,0).
Comentário: como v_1 já tinha norma 1, ficou igual a e_1.

Passo 4

Processo para o segundo vetor.
Primeiro calculamos a projeção de v_2 sobre u_1:
\langle v_2,u_1\rangle = (1,1,1)\cdot(1,0,0) = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 1,
\langle u_1,u_1\rangle = 1.
Portanto
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = 1\cdot(1,0,0) = (1,0,0).
Subtraindo essa projeção obtemos o componente ortogonal:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = (1,1,1)-(1,0,0) = (0,1,1).
Agora a norma de u_2:
\|u_2\| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}.
Normalizando:
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Processo para o terceiro vetor.
Primeiro calculamos a projeção de v_3 sobre u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = (1,1,-1)\cdot(1,0,0) = 1,
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = \frac{1}{1}\,u_1 = (1,0,0).
Subtraindo obtemos temporariamente
v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = (1,1,-1)-(1,0,0) = (0,1,-1).
Agora calculamos a projeção de v_3 sobre u_2. Precisamos de \langle v_3,u_2\rangle e \langle u_2,u_2\rangle:
u_2 = (0,1,1),\qquad \langle u_2,u_2\rangle = 0^2+1^2+1^2 = 2.
\langle v_3,u_2\rangle = (1,1,-1)\cdot(0,1,1) = 1\cdot0 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0.
Como \langle v_3,u_2\rangle = 0, a projeção é nula:
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = \frac{0}{2}\,u_2 = (0,0,0).
Portanto o componente ortogonal final é
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = (0,1,-1) - (0,0,0) = (0,1,-1).
Calculemos a norma:
\|u_3\| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}.
Normalizando:
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Verificação rápida (contas simples para ganhar confiança):
  • Norma de e_1: \|e_1\|=1. Norma de e_2 e e_3: por construção são unitárias (dividimos pela norma).
  • Produto interno entre e_1 e e_2: (1,0,0)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.
  • Produto interno entre e_1 e e_3: (1,0,0)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.
  • Produto interno entre e_2 e e_3: \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
    Portanto os vetores são mutuamente ortogonais e unitários: formam uma base ortonormal.

Resposta

\,(1,0,0)
\,\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
\,\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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