Apply the Gram-Schmidt orthonormalization process to transform the given basis for
into an orthonormal basis. Use the vectors in the order in which they are given.
Passo 1
O enunciado dá uma base
do espaço
com três vetores, na ordem indicada, e pede para transformá‑la em uma base ortonormal usando esses vetores nessa mesma ordem. Os vetores dados são:
O objetivo é produzir vetores unitários
tais que cada
seja ortogonal aos anteriores e tenha norma
, usando o processo de ortogonalização na ordem
.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas). O procedimento de Gram–Schmidt transforma uma sequência de vetores linearmente independentes
numa sequência ortonormal
assim:
- Primeiro define-se um vetor intermediário
e normaliza-se . - Em geral, para cada novo vetor
calcula‑se a sua parte ortogonal aos anteriores subtraindo as projeções sobre os já obtidos:
onde a projeção de
sobre
é dada por
Aqui
é o produto interno usual em
:
. Depois obtemos o vetor unitário
onde
. Vou aplicar exatamente essas fórmulas passo a passo com contas detalhadas.
Passo 3
Processo para o primeiro vetor.
Definimos
Definimos
Calculamos a norma:
Normalizando:
Comentário: como
já tinha norma
, ficou igual a
.
Passo 4
Processo para o segundo vetor.
Primeiro calculamos a projeção de sobre
:
Primeiro calculamos a projeção de
Portanto
Subtraindo essa projeção obtemos o componente ortogonal:
Agora a norma de
:
Normalizando:
Passo 5
Processo para o terceiro vetor.
Primeiro calculamos a projeção de sobre
:
Primeiro calculamos a projeção de
Subtraindo obtemos temporariamente
Agora calculamos a projeção de
sobre
. Precisamos de
e
:
Como
, a projeção é nula:
Portanto o componente ortogonal final é
Calculemos a norma:
Normalizando:
Passo 6
Verificação rápida (contas simples para ganhar confiança):
- Norma de
: . Norma de e : por construção são unitárias (dividimos pela norma). - Produto interno entre
e : . - Produto interno entre
e : . - Produto interno entre
e : .
Portanto os vetores são mutuamente ortogonais e unitários: formam uma base ortonormal.