Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a fato descreve arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = x ao quadrado + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião e o tempo gasto para atingir a altura máxima.
Passo 1
Então, a gente tem um avião fazendo acrobacias e descrevendo um arco que segue a forma de uma parábola, representada pela função $ y = x^2 + 60x $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a altura máxima que esse avião alcança durante a manobra e quanto tempo ele leva para chegar nessa altura máxima. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica sobre funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve o movimento do avião: $ y = x^2 + 60x $. Aqui, $ y $ representa a altura do avião e $ x $ o tempo. Essa é uma equação do segundo grau, também conhecida como função quadrática, que tem a forma geral $ y = ax^2 + bx + c $.
Passo 3
Para encontrar a altura máxima, precisamos identificar o ponto mais alto da parábola. Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 $), a parábola abre para cima, o que normalmente indica que há um ponto mínimo. No entanto, como estamos procurando a altura máxima, parece que houve um erro no sinal da equação. Vamos supor que a função correta seja $ y = -x^2 + 60x $, onde o coeficiente de $ x^2 $ é negativo, fazendo a parábola abrir para baixo e garantindo a existência de um ponto máximo.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vértice da parábola, que nos dá o ponto de máximo da função. A fórmula para encontrar o valor de $ x $ no vértice é:
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 60 $. Substituindo esses valores na fórmula:
Então, o tempo para atingir a altura máxima é de 30 unidades de tempo (por exemplo, segundos).
Passo 5
Agora, vamos encontrar a altura máxima substituindo o valor de $ x = 30 $ na função $ y = -x^2 + 60x $:
Portanto, a altura máxima atingida pelo avião é de 900 unidades de altura (por exemplo, metros).
Resposta
A altura máxima atingida pelo avião é de 900 metros e o tempo gasto para atingir essa altura é de 30 segundos.