a) Apresentar a expressão para os autovalores de energia da equação de Schrödinger do elétron ligado no átomo de hidrogênio;
b) Calcular
e
(em unidades de eV e J) ;
c) Determinar a energia de excitação de
para
;
d) Determinar a energia de ionização do elétron do nível
;
e) Usando a função radial (
), do estado fundamental
, determine o valor esperado do raio r , em função do raio de Bohr (
).
b) Calcular
c) Determinar a energia de excitação de
d) Determinar a energia de ionização do elétron do nível
e) Usando a função radial (
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas, listadas claramente para eu não me perder:
- (a) Apresentar a expressão para os autovalores de energia do elétron no átomo de hidrogénio.
- (b) Calcular
e (em unidades de eV e de J). - (c) Determinar a energia de excitação de
para . - (d) Determinar a energia de ionização do elétron do nível
. - (e) Usando a função radial
do estado fundamental , determinar o valor esperado de em função do raio de Bohr .
Informações relevantes que vou usar (valores físicos padrão):
- Carga elementar:
(entra na fórmula, depois uso conversão eV J). - Constante de Planck reduzida:
. - Permitividade do vácuo:
. - Massa do elétron:
. - Conversão:
.
Nenhuma figura faltando; todos os dados necessários estão no enunciado ou são constantes físicas conhecidas.
Passo 2
Derivar e apresentar a expressão dos autovalores de energia (passo didático e tranquilo).
- A equação de Schrödinger dependente do tempo para o átomo de hidrogénio, com potencial coulombiano
, ao separar variáveis em coordenadas esféricas e resolver a parte radial com condições de normalização, dá níveis de energia discretos. - O resultado analítico para os autovalores de energia é
onde:
-
é a energia do nível com número quântico principal , -
é a massa do elétron, -
é a carga elementar (módulo), -
é a permissividade do vácuo, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o número quântico principal. - Essa constante pré-fatorial é equivalente, numericamente, à energia do estado fundamental em módulo. Em unidades de elétron-volt costuma-se escrever de forma prática:
Explicação física curta: o sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia inferior à do elétron livre, que tem
); quanto maior
, menos ligado ele está.
Passo 3
Calcular
e
em eV (uso a forma prática).
- Para
:
- Para
:
Observação didática: é comum arredondar para
e
porque a precisão experimental usual do valor base é essa.
Passo 4
Converter
e
para joules (passo a passo, explicando conversão).
- Conversão usada:
. - Para
:
Arredondando razoavelmente:
- Para
:
ou arredondando:
Passo 5
Determinar a energia de excitação de
para
(o que é preciso fornecer para levar o elétron de 1 até 2).
- Energia de excitação
. - Usando valores em eV:
- Em joules (conversão):
Interpretação: para excitar o elétron de
para
é preciso fornecer essa energia (por exemplo, absorvendo um fóton com essa energia).
Passo 6
Determinar a energia de ionização do elétron do nível
.
- Ionização significa levar o elétron de
até (elétron livre). A energia necessária é . - Em eV:
- Em joules:
Comentário: esse valor é menor que a energia de ionização do estado fundamental (
), porque o elétron em
já está menos ligado.
Passo 7
Determinar o valor esperado de
para o estado fundamental usando
.
- Primeiro, escrevo a função radial normalizada do estado
. A convenção usual dá:
onde
é o raio de Bohr (
). Explicação:
é a parte radial da função de onda tal que
.
- O valor esperado de
é
Em coordenadas esféricas, para
e com
normalizado, isso reduz a
Substituo
:
Então
- Calculo da integral (explico a técnica): usar a integral padrão
para inteiro . Aqui e . Assim
Substituindo na expressão de
:
- Resultado prático: o valor esperado do raio para o estado
é
Se quiser o valor numérico: com
,
Resposta
a)
(equivalente a
).\n
b) \n
\n
c) \n
d) \n
e) (numericamente
).
b)
c)
d)
e)