a) Apresentar a expressão para os autovalores de energia da equação de Schrödinger do elétron ligado no átomo de hidrogênio;
b) Calcular \mathrm{E}_{1} e \mathrm{E}_{2} (em unidades de eV e J) ;
c) Determinar a energia de excitação de \mathrm{n}=1 para \mathrm{n}=2;
d) Determinar a energia de ionização do elétron do nível \mathrm{n}=2;
e) Usando a função radial ( R_{1,0} ), do estado fundamental \psi(1 \mathrm{~s}), determine o valor esperado do raio r , em função do raio de Bohr ( \mathrm{a}_{0} ).

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas, listadas claramente para eu não me perder:
  • (a) Apresentar a expressão para os autovalores de energia do elétron no átomo de hidrogénio.
  • (b) Calcular \mathrm{E}_{1} e \mathrm{E}_{2} (em unidades de eV e de J).
  • (c) Determinar a energia de excitação de \mathrm{n}=1 para \mathrm{n}=2.
  • (d) Determinar a energia de ionização do elétron do nível \mathrm{n}=2.
  • (e) Usando a função radial R_{1,0} do estado fundamental \psi(1s), determinar o valor esperado de r em função do raio de Bohr \mathrm{a}_0.
Informações relevantes que vou usar (valores físicos padrão):
  • Carga elementar: e (entra na fórmula, depois uso conversão eV \leftrightarrow J).
  • Constante de Planck reduzida: \hbar.
  • Permitividade do vácuo: \varepsilon_0.
  • Massa do elétron: m_e.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
    Nenhuma figura faltando; todos os dados necessários estão no enunciado ou são constantes físicas conhecidas.

Passo 2

Derivar e apresentar a expressão dos autovalores de energia (passo didático e tranquilo).
  • A equação de Schrödinger dependente do tempo para o átomo de hidrogénio, com potencial coulombiano V(r) = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, ao separar variáveis em coordenadas esféricas e resolver a parte radial com condições de normalização, dá níveis de energia discretos.
  • O resultado analítico para os autovalores de energia é
E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia do nível com número quântico principal n=1,2,3,\dots,
  • m_e é a massa do elétron,
  • e é a carga elementar (módulo),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • n é o número quântico principal.
  • Essa constante pré-fatorial é equivalente, numericamente, à energia do estado fundamental em módulo. Em unidades de elétron-volt costuma-se escrever de forma prática:
E_n = -\frac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{n^2}\approx -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Explicação física curta: o sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia inferior à do elétron livre, que tem E=0); quanto maior n, menos ligado ele está.

Passo 3

Calcular \mathrm{E}_1 e \mathrm{E}_2 em eV (uso a forma prática).
  • Para n=1:
\mathrm{E}_1 = -\frac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{1^2} = -13,605693\\ \mathrm{eV}\approx -13,6\\ \mathrm{eV}.
  • Para n=2:
\mathrm{E}_2 = -\frac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{2^2} = -\frac{13,605693}{4}\\ \mathrm{eV} = -3,40142325\\ \mathrm{eV}\approx -3,40\\ \mathrm{eV}.
Observação didática: é comum arredondar para -13,6\\ \mathrm{eV} e -3,40\\ \mathrm{eV} porque a precisão experimental usual do valor base é essa.

Passo 4

Converter \mathrm{E}_1 e \mathrm{E}_2 para joules (passo a passo, explicando conversão).
  • Conversão usada: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Para \mathrm{E}_1:
\mathrm{E}_1 = -13,605693\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} = -2,179872361\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
\mathrm{E}_1 \approx -2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
  • Para \mathrm{E}_2:
\mathrm{E}_2 = -3,40142325\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} = -5,44968090\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
ou arredondando:
\mathrm{E}_2 \approx -5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Determinar a energia de excitação de \mathrm{n}=1 para \mathrm{n}=2 (o que é preciso fornecer para levar o elétron de 1 até 2).
  • Energia de excitação \Delta E_{1\to2} = E_2 - E_1.
  • Usando valores em eV:
\Delta E_{1\to2} = -3,40142325\\ \mathrm{eV} - (-13,605693\\ \mathrm{eV}) = 10,20426975\\ \mathrm{eV}\approx 10,20\\ \mathrm{eV}.
  • Em joules (conversão):
\Delta E_{1\to2} = 10,20426975\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} = 1,6349053\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 1,63\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: para excitar o elétron de n=1 para n=2 é preciso fornecer essa energia (por exemplo, absorvendo um fóton com essa energia).

Passo 6

Determinar a energia de ionização do elétron do nível \mathrm{n}=2.
  • Ionização significa levar o elétron de E_2 até E=0 (elétron livre). A energia necessária é \Delta E_{\text{ion},n=2} = 0 - E_2 = -E_2.
  • Em eV:
\Delta E_{\text{ion},n=2} = -(-3,40142325\\ \mathrm{eV}) = 3,40142325\\ \mathrm{eV}\approx 3,40\\ \mathrm{eV}.
  • Em joules:
\Delta E_{\text{ion},n=2} = 3,40142325\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} = 5,44968090\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Comentário: esse valor é menor que a energia de ionização do estado fundamental ( 13,6\\ \mathrm{eV}), porque o elétron em n=2 já está menos ligado.

Passo 7

Determinar o valor esperado de r para o estado fundamental usando R_{1,0}.
  • Primeiro, escrevo a função radial normalizada do estado 1s. A convenção usual dá:
R_{1,0}(r) = 2\,a_0^{-3/2}\,e^{-r/a_0},
onde \mathrm{a}_0 é o raio de Bohr ( \mathrm{a}_0 \approx 5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m}). Explicação: R_{n,l}(r) é a parte radial da função de onda tal que \psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi).
  • O valor esperado de r é
\langle r\rangle = \int_{\text{tudo}} \psi^*(\mathbf{r})\, r\, \psi(\mathbf{r})\, dV.
Em coordenadas esféricas, para l=0 e com Y_{0,0} normalizado, isso reduz a
\langle r\rangle = \int_{0}^{\infty} |R_{1,0}(r)|^2\, r^3\, dr.
Substituo R_{1,0}:
|R_{1,0}(r)|^2 = 4\,a_0^{-3}\,e^{-2r/a_0}.
Então
\langle r\rangle = \int_{0}^{\infty} 4\,a_0^{-3}\,e^{-2r/a_0}\, r^3\, dr.
  • Calculo da integral (explico a técnica): usar a integral padrão \displaystyle\int_0^\infty x^n e^{-\alpha x}\,dx = \frac{n!}{\alpha^{\,n+1}} para inteiro n. Aqui n=3 e \alpha = 2/a_0. Assim
\int_{0}^{\infty} r^3 e^{-2r/a_0}\,dr = \frac{3!}{(2/a_0)^{4}} = \frac{6}{(2/a_0)^4} = \frac{6 a_0^{4}}{16} = \frac{3}{8}a_0^{4}.
Substituindo na expressão de \langle r\rangle:
\langle r\rangle = 4\,a_0^{-3}\times\frac{3}{8}a_0^{4} = \frac{12}{8} a_0 = \frac{3}{2} a_0.
  • Resultado prático: o valor esperado do raio para o estado 1s é
\boxed{\langle r\rangle = \frac{3}{2}\,a_0.}
Se quiser o valor numérico: com \mathrm{a}_0\approx5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m},
\langle r\rangle \approx 1,5\times5,291772\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \approx 7,937658\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\approx 0,7938\\ \text{\AA}.

Resposta

a) \displaystyle E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2} (equivalente a \displaystyle E_n = -\frac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{n^2}).\n
b) \displaystyle E_1 = -13,605693\\ \mathrm{eV}\approx -13,6\\ \mathrm{eV} = -2,179872361\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx -2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.\n \displaystyle E_2 = -3,40142325\\ \mathrm{eV}\approx -3,40\\ \mathrm{eV} = -5,44968090\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx -5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.\n
c) \displaystyle \Delta E_{1\to2}=E_2-E_1=10,20426975\\ \mathrm{eV}\approx 10,20\\ \mathrm{eV}=1,6349053\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 1,63\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.\n
d) \displaystyle \Delta E_{\text{ion},n=2}=-E_2=3,40142325\\ \mathrm{eV}\approx 3,40\\ \mathrm{eV}=5,44968090\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.\n
e) \displaystyle \langle r\rangle = \frac{3}{2}\,a_0 (numericamente \langle r\rangle\approx 7,93766\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\approx 0,7938\\ \text{\AA}).

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