Determine as expressões das funções de onda completas
, em função das coordenadas (
) e
, para o nível de energia
do átomo de hidrogênio
e íon de Hélio
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar as expressões das funções de onda completas
em coordenadas esféricas
e em função de
, para o nível
do átomo de hidrogênio (
) e do íon de hélio (
).\n
Informações importantes do enunciado (lista):\n
Informações importantes do enunciado (lista):\n
- O número quântico principal é
.\n - Para
os valores permitidos de são e .\n - Para
temos . Para temos .\n - Precisamos das funções de onda completas
, que dependem do raio , dos ângulos e do comprimento de Bohr .\n - Devemos fornecer as expressões tanto para
(hidrogênio) quanto para ( ).\n
Passo 2
Forma geral das funções de onda de átomos hidrogenoides (explicação didática):\n
Para um átomo hidrogenoide com carga nuclear (onde
é o número atômico:
para H,
para
), as funções de onda estacionárias separáveis em coordenadas esféricas são produtos da parte radial
pela harmônica esférica
:
Para um átomo hidrogenoide com carga nuclear
Aqui:
-
depende só de e contém o parâmetro e .\n -
contém toda a dependência angular (ângulos e ).\n
Essa separação é padrão e muito útil: na prova, quando você tiver um orbital do tipo “2s” ou “2p”, basta lembrar que é essa multiplicação de uma função radial por uma harmônica esférica.\n
Passo 3
Fórmula geral do raio e normalização da parte radial (introdução com detalhes):\n
A parte radial para estados hidrogenoides é dada por (forma canônica com variável ):
A parte radial para estados hidrogenoides é dada por (forma canônica com variável
onde
Explicando cada peça:
-
é uma variável adimensional que escala com e .\n -
dá a parte polinomial do radial; para pequenos esses polinômios são simples.\n -
garante que .\n
Passo 4
Aplicação para
: cálculo explícito de
, dos polinômios e das constantes de normalização (passo a passo):\n
Para temos
.\n
Casos possíveis:\n
Para
Casos possíveis:\n
- Para
(estado ): e o polinômio é .\n - Para
(estados ): e o polinômio é .\n
Agora as normalizações (substituindo):\n - Para
:
- Para
:
Portanto as partes radiais ficam (em função de
):\n
Essas expressões são padrão: a diferença entre
e
está no fator polinomial
versus
e na potência
.\n
Passo 5
As harmônicas esféricas relevantes (explicação e formas explícitas):\n
Para e
as harmônicas esféricas (no convênio de Condon–Shortley) são:\n
Para
Pequena explicação:
é a parte angular normalizada; os fatores
etc. garantem normalização angular
.\n
Passo 6
Construção das funções de onda completas para geral
(colocando tudo junto):\n
A função de onda completa é . Substituindo
e
obtemos:\n
A função de onda completa é
- Estado
( ) para geral :
- Estados
( ) para geral :
É útil simplificar os fatores numéricos quando for prático — mas manter a forma factorizada ajuda na prova para verificar normalizações.\n
Passo 7
Substituindo
para o átomo de hidrogênio (escrevendo as quatro funções de onda de
):\n
Para (
) obtemos:\n
Para
Se quiser simplificar os fatores numéricos, por exemplo para
o produto dos coeficientes dá:
Mas manter a forma em produto ajuda a conferir passo a passo na prova.\n
Passo 8
Substituindo
para o íon
(escrevendo as quatro funções de onda de
):\n
Para (
) usamos as mesmas fórmulas com
:\n
Para
Observação prática:
. Também é possível simplificar as potências de
; por exemplo para
com
o fator radial pode ser escrito como
mas a versão fatorada anterior é suficientemente clara para a prova.\n