Determine as expressões das funções de onda completas \Psi\left(n, l, m_{l}\right), em função das coordenadas ( \mathrm{r}, \theta, \varphi ) e a_{0}, para o nível de energia \mathrm{n}=2 do átomo de hidrogênio (\mathrm{H}) e íon de Hélio \left(\mathrm{He}^{+}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as expressões das funções de onda completas \Psi(n,l,m_l) em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) e em função de a_0, para o nível n=2 do átomo de hidrogênio ( \mathrm{H}) e do íon de hélio ( \mathrm{He}^+).\n
Informações importantes do enunciado (lista):\n
  • O número quântico principal é n=2.\n
  • Para n=2 os valores permitidos de l são l=0 e l=1.\n
  • Para l=0 temos m_l=0. Para l=1 temos m_l=-1,0,1.\n
  • Precisamos das funções de onda completas \Psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\varphi), que dependem do raio r, dos ângulos \theta,\varphi e do comprimento de Bohr a_0.\n
  • Devemos fornecer as expressões tanto para Z=1 (hidrogênio) quanto para Z=2 ( \mathrm{He}^+).\n

Passo 2

Forma geral das funções de onda de átomos hidrogenoides (explicação didática):\n
Para um átomo hidrogenoide com carga nuclear +Ze (onde Z é o número atômico: Z=1 para H, Z=2 para \mathrm{He}^+), as funções de onda estacionárias separáveis em coordenadas esféricas são produtos da parte radial R_{n,l}(r) pela harmônica esférica Y_l^{m_l}(\theta,\varphi):
\Psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)\;Y_{l}^{m_l}(\theta,\varphi).
Aqui:
  • R_{n,l}(r) depende só de r e contém o parâmetro a_0 e Z.\n
  • Y_l^{m_l}(\theta,\varphi) contém toda a dependência angular (ângulos \theta e \varphi).\n
    Essa separação é padrão e muito útil: na prova, quando você tiver um orbital do tipo “2s” ou “2p”, basta lembrar que é essa multiplicação de uma função radial por uma harmônica esférica.\n

Passo 3

Fórmula geral do raio e normalização da parte radial (introdução com detalhes):\n
A parte radial para estados hidrogenoides é dada por (forma canônica com variável \rho):
R_{n,l}(r)=N_{n,l}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)\,e^{-\rho/2},
onde
\rho=\frac{2Zr}{n a_0},
L_{k}^{\alpha}(\rho) é o polinômio de Laguerre generalizado, e a constante de normalização é
N_{n,l}=\sqrt{\left(\frac{2Z}{n a_0}\right)^3\frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}.
Explicando cada peça:
  • \rho é uma variável adimensional que escala r com Z e a_0.\n
  • L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) dá a parte polinomial do radial; para pequenos n esses polinômios são simples.\n
  • N_{n,l} garante que \int_0^\infty |R_{n,l}(r)|^2 r^2 dr = 1.\n

Passo 4

Aplicação para n=2: cálculo explícito de \rho, dos polinômios e das constantes de normalização (passo a passo):\n
Para n=2 temos \rho=\dfrac{2Zr}{2a_0}=\dfrac{Zr}{a_0}.\n
Casos possíveis:\n
  • Para l=0 (estado 2s): n-l-1=1 e o polinômio é L_{1}^{1}(\rho)=2-\rho.\n
  • Para l=1 (estados 2p): n-l-1=0 e o polinômio é L_{0}^{3}(\rho)=1.\n
    Agora as normalizações (substituindo n=2):\n
  • Para l=0:
N_{2,0}=\sqrt{\left(\frac{2Z}{2a_0}\right)^3\frac{(2-0-1)!}{2\cdot2\,(2+0)!}} =\sqrt{\left(\frac{Z}{a_0}\right)^3\frac{1}{8}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}.
  • Para l=1:
N_{2,1}=\sqrt{\left(\frac{Z}{a_0}\right)^3\frac{1}{24}} =\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}.
Portanto as partes radiais ficam (em função de Z):\n
R_{2,0}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-Zr/(2a_0)},
R_{2,1}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-Zr/(2a_0)}.
Essas expressões são padrão: a diferença entre 2s e 2p está no fator polinomial (2-\rho) versus \rho e na potência \rho^l.\n

Passo 5

As harmônicas esféricas relevantes (explicação e formas explícitas):\n
Para l=0 e l=1 as harmônicas esféricas (no convênio de Condon–Shortley) são:\n
Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},
Y_1^0(\theta,\varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,
Y_1^{\pm 1}(\theta,\varphi)=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}.
Pequena explicação: Y_l^{m} é a parte angular normalizada; os fatores \sqrt{3/(4\pi)} etc. garantem normalização angular \int |Y_l^m|^2 d\Omega=1.\n

Passo 6

Construção das funções de onda completas para geral Z (colocando tudo junto):\n
A função de onda completa é \Psi_{2,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{2,l}(r)\,Y_l^m(\theta,\varphi). Substituindo R_{2,0} e R_{2,1} obtemos:\n
  • Estado 2s ( l=0,m=0) para geral Z:
\Psi_{2,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-Zr/(2a_0)}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}.
  • Estados 2p ( l=1,m=0,\pm1) para geral Z:
\Psi_{2,1,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-Zr/(2a_0)}\cdot\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,
\Psi_{2,1,\pm1}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-Zr/(2a_0)}\cdot\left(\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\right).
É útil simplificar os fatores numéricos quando for prático — mas manter a forma factorizada ajuda na prova para verificar normalizações.\n

Passo 7

Substituindo Z=1 para o átomo de hidrogênio (escrevendo as quatro funções de onda de n=2):\n
Para \mathrm{H} ( Z=1) obtemos:\n
\Psi_{2,0,0}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}},
\Psi_{2,1,0}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,
\Psi_{2,1,\pm1}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\left(\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\right).
Se quiser simplificar os fatores numéricos, por exemplo para \Psi_{2,1,0} o produto dos coeficientes dá:
\frac{1}{2\sqrt{6}}\sqrt{\frac{3}{4\pi}}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}.
Mas manter a forma em produto ajuda a conferir passo a passo na prova.\n

Passo 8

Substituindo Z=2 para o íon \mathrm{He}^+ (escrevendo as quatro funções de onda de n=2):\n
Para \mathrm{He}^+ ( Z=2) usamos as mesmas fórmulas com Z=2:\n
\Psi_{2,0,0}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{2r}{a_0}\right)e^{-2r/(2a_0)}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}},
\Psi_{2,1,0}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{2r}{a_0}\right)e^{-2r/(2a_0)}\cdot\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,
\Psi_{2,1,\pm1}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{2r}{a_0}\right)e^{-2r/(2a_0)}\cdot\left(\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\right).
Observação prática: e^{-2r/(2a_0)}=e^{-r/a_0}. Também é possível simplificar as potências de 2; por exemplo para R_{2,1} com Z=2 o fator radial pode ser escrito como
R_{2,1}(r)=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{r}{a_0^{5/2}}e^{-r/a_0},
mas a versão fatorada anterior é suficientemente clara para a prova.\n

Resposta

\displaystyle \Psi_{2,0,0}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\n
\displaystyle \Psi_{2,1,0}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\n
\displaystyle \Psi_{2,1,\pm1}^{(\mathrm{H})}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\cdot\left(\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\right)\n
\displaystyle \Psi_{2,0,0}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(2-\frac{2r}{a_0}\right)e^{-r/a_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\n
\displaystyle \Psi_{2,1,0}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{2r}{a_0}\right)e^{-r/a_0}\cdot\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\n
\displaystyle \Psi_{2,1,\pm1}^{(\mathrm{He}^+)}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2}\left(\frac{2r}{a_0}\right)e^{-r/a_0}\cdot\left(\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\right)

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