Apresente um circuito que represente cada uma das expressões booleanas dadas a seguir.
S=[B \cdot(C \odot D)] \cdot(B \cdot C+A \cdot C)

Passo 1

O enunciado pede um circuito que represente a expressão booleana dada. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Expressão dada: S=[B \cdot (C \odot D)] \cdot (B \cdot C + A \cdot C).
  • Símbolos (que vou usar explicitamente):
    • X \cdot Y é a operação AND entre X e Y.
    • X + Y é a operação OR entre X e Y.
    • C \odot D é a operação XOR entre C e D (às vezes escrita C \oplus D).
    • \overline{D} denota NOT (negação) de D.
  • Entradas disponíveis: A,\;B,\;C,\;D.
  • Saída requerida: S.
Não estou resolvendo ainda; apenas declarei o que a expressão usa e o que devo entregar: um circuito lógico (porta a porta) que implemente S.

Passo 2

Entender e escrever o XOR de forma algébrica — isso é útil para simplificar. A definição booleana do XOR é:
C \odot D = C\overline{D} + \overline{C}D.
Explicando em palavras: C \odot D vale 1 quando exatamente um entre C e D é 1; vale 0 quando ambos são iguais.
Vou substituir essa forma na expressão original para permitir simplificações algébricas.

Passo 3

Substituindo C \odot D na expressão:
S = \bigl[B \cdot (C\overline{D} + \overline{C}D)\bigr]\cdot (B\cdot C + A\cdot C).
Agora vou usar as propriedades distributivas e de fatoração do álgebra booleana para limpar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Primeiro fatoro C no segundo fator B\cdot C + A\cdot C:
B\cdot C + A\cdot C = C\cdot (B + A).
Portanto a expressão vira
S = B \cdot (C\overline{D} + \overline{C}D)\cdot C\cdot (B + A).

Passo 5

Agora reorganizo os fatores e trato do termo C multiplicado por (C\overline{D} + \overline{C}D). Usando distributiva:
C\cdot (C\overline{D} + \overline{C}D) = C\cdot C\overline{D} + C\cdot\overline{C}D.
Mas C\cdot C = C e C\cdot\overline{C} = 0. Assim:
C\cdot (C\overline{D} + \overline{C}D) = C\overline{D} + 0 = C\overline{D}.
Interpretação prática: C e C\odot D juntos equivalem a C e não- D; quando C=0 o produto é 0; quando C=1 o XOR reduz a \overline{D}.

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta, obtemos:
S = B \cdot \bigl(C\overline{D}\bigr)\cdot (B + A).
Agrupando B e (B + A):
B\cdot (B + A) = B
pela lei de absorção ( B + AB = B ou B(B + A) = B). Portanto a expressão final simplificada é
S = B\cdot C\cdot \overline{D}.
Comentário motivacional: deu trabalho, mas chegamos a uma forma bem simples — e bom sinal para a prova: menos portas no circuito!

Passo 7

Agora descrevo o circuito minimal que implementa S = B\cdot C\cdot \overline{D}. Existem duas opções práticas equivalentes:
Opção A — usando uma porta NOT e uma porta AND de três entradas:
  • Uma porta NOT aplicada em D produz \overline{D}.
  • Uma porta AND de três entradas recebe B, C e \overline{D}.
  • A saída dessa AND é S.
Opção B — usando portas AND de duas entradas em cascata:
  • Porta NOT em D produz \overline{D}.
  • Porta AND _1 com entradas B e C produz X = B\cdot C.
  • Porta AND _2 com entradas X e \overline{D} produz S = X\cdot\overline{D} = B\cdot C\cdot\overline{D}.
Observação importante: a entrada A desapareceu da expressão simplificada — logo não é necessária no circuito final.

Passo 8

Esquema textual (ASCII) do circuito — opção B, fácil de implementar em sala de aula ou prova:
  • Entradas: A,\;B,\;C,\;D (nota: A não é usada no circuito final)
  • Linha 1: D → NOT → \overline{D}
  • Linha 2: B →\

    AND _1 C (saída X = B\cdot C)
  • Linha 3: X e \overline{D} → AND _2 → saída S
Isso implementa S = B\cdot C\cdot \overline{D}.

Resposta

S = B\cdot C\cdot \overline{D}.\nCircuito mínimo: D passa por uma porta NOT para gerar \overline{D}; em seguida uma porta AND de três entradas (ou duas AND de duas entradas em cascata) combina B, C e \overline{D} para produzir S.

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