Apresente um circuito que represente cada uma das expressões booleanas dadas a seguir.
\mathrm{S}=(\mathrm{B} . \mathrm{C}+\mathrm{A} . \mathrm{C})+[\mathrm{B} .(\overline{\mathrm{C}} . \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{C} . \mathrm{D})]

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana e pede um circuito que a represente. A expressão é:
S=(B\cdot C + A\cdot C)+\bigl[B\cdot(\overline{C}\cdot\overline{D}+C\cdot D)\bigr]
Informações relevantes que temos:
  • Variáveis de entrada: A, B, C, D.
  • Operadores usados: \cdot (AND), + (OR), \overline{(\cdot)} (NOT).
  • O objetivo: apresentar um circuito lógico (porta a porta) que implemente S. A partir da expressão podemos tanto montar o circuito “direto” usando os parênteses dados, quanto procurar simplificar a expressão para reduzir o número de portas.

Passo 2

Rápida revisão didática das portas lógicas (para saber como mapear cada operador em um circuito):
  • Porta AND: implementa X\cdot Y. Saída é 1 só quando X=1 e Y=1.
  • Porta OR: implementa X+Y. Saída é 1 quando pelo menos uma entrada é 1.
  • Porta NOT: implementa \overline{X}. Inverte o sinal de X.
    Estas três são suficientes para implementar qualquer expressão booleana. Na prova, transformar a expressão em subexpressões (blocos) e ligar portas correspondentes é a estratégia prática: para cada produto usa-se uma AND, para cada soma uma OR, e para cada barra uma NOT.

Passo 3

Vou simplificar a expressão passo a passo, mostrando as identidades usadas (isso ajuda a reduzir portas na hora da montagem).
Escrevendo a expressão inicial em bloco:
S = (B C + A C) + \bigl[B(\overline{C}\,\overline{D} + C D)\bigr]
  1. Fator comum C nos dois primeiros termos:
S = C(B + A) + B(\overline{C}\,\overline{D} + C D)
  1. Expandindo mentalmente os termos do segundo colchete ou reconhecendo uma forma conhecida:
\overline{C}\,\overline{D} + C D
é a expressão do XNOR entre C e D, mas não precisamos usar uma porta XNOR para simplificar. Vamos expandir tudo para aplicar identidades de absorção.
  1. Expandindo os produtos para ver termos iguais:
S = A C + B C + B C D + B \overline{C}\,\overline{D}
  1. Repare que B C e B C D podem ser combinados porque B C + B C D = B C(1 + D) = B C. Assim:
S = A C + B C + B \overline{C}\,\overline{D}
  1. Agrupando os dois termos com B:
S = A C + B\bigl(C + \overline{C}\,\overline{D}\bigr)
  1. Aplicando a identidade X + \overline{X}Y = X + Y com X=C e Y=\overline{D}:
C + \overline{C}\,\overline{D} = C + \overline{D}
Logo:
S = A C + B(C + \overline{D})
  1. Desenvolvendo novamente (opcional) para ver forma final:
S = A C + B C + B\overline{D} = C(A + B) + B\overline{D}
Portanto a expressão simplificada que implementa a mesma função é:
\boxed{S = C(A + B) + B\overline{D}}
Essa forma é muito prática para construir um circuito com menos portas.

Passo 4

Agora transformamos a expressão simplificada em um circuito passo a passo (cada passo corresponde a uma porta ou subcircuito que você desenharia na prova):
  1. Calcular E = A + B com uma porta OR de duas entradas (entradas: A, B).
  2. Calcular F = C \cdot E com uma porta AND de duas entradas (entradas: C, saída de OR E). Isso implementa C(A+B).
  3. Calcular G = \overline{D} com uma porta NOT (entrada: D).
  4. Calcular H = B \cdot G com uma porta AND de duas entradas (entradas: B, saída do NOT G). Isso implementa B\overline{D}.
  5. Calcular S = F + H com uma porta OR de duas entradas (entradas: saídas F e H).
Esquematicamente (da esquerda para a direita):
  • OR1 recebe A,B → saída E.
  • AND1 recebe C e E → saída F.
  • NOT1 recebe D → saída G=\overline{D}.
  • AND2 recebe B e G → saída H.
  • OR2 recebe F,H → saída final S.
Contagem de portas (impl. mínima prática acima): 2 OR, 2 AND, 1 NOT = 5 portas lógicas.
Observação: se a biblioteca de portas tiver XNOR disponível, pode-se também implementar a parte original B\cdot(\overline{C}\,\overline{D}+C D) como B AND (C\\ \text{XNOR}\\ D), mas a implementação já mostrada usando a simplificação costuma ser mais econômica.

Passo 5

Dicas rápidas para desenhar na prova (ansioso, eu sei — respira!):
  • Desenhe entradas A,B próximas e passe para uma OR (essa é E). Ligue E junto com C numa AND. Em paralelo, faça \overline{D} e AND com B. Por fim, junte as saídas das duas ANDs numa OR final.
  • Rotule as saídas intermediárias (por exemplo E,F,G,H) para evitar confusão ao conectar.
  • Se pedir circuito com portas limitadas (ex.: só NAND), então converta usando as identidades de De Morgan; aqui acima foi assumido que AND, OR, NOT estão disponíveis.

Resposta

S = C(A + B) + B\overline{D} \n
Circuito mínimo (porta a porta): \n
  1. OR: E = A + B \n
  2. AND: F = C \cdot E \n
  3. NOT: G = \overline{D} \n
  4. AND: H = B \cdot G \n
  5. OR: S = F + H

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