A) Apresente a definição do processo de difusão e explique a diferença entre os modelos descritos pela Primeira Lei de Fick e pela Segunda Lei de Fick.
B) Uma folha de ferro CCC (cúbica de corpo centrado) com 2,54 \times 10^{-5} \mathrm{~m} de espessura é usada para separar um gás com alta concentração de hidrogênio de um gás com baixa concentração de hidrogênio a 650^{\circ} \mathrm{C}, em um estado de difusão em estado estacionário. No estado de equilíbrio, uma das faces da folha apresenta 5 \times 10^{14} átomos de \mathrm{H} \mathrm{m}^{-3}, enquanto a outra apresenta 2 \times 10^{9} átomos de \mathrm{H} \mathrm{m}^{-3}. Determine i) o gradiente de concentração de hidrogênio e i i) o fluxo de hidrogênio através da folha. Coeficiente de Difusão do H em T=650{ }^{\circ} \mathrm{C}: 1,678 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
  • Perguntas:
    A) Apresentar a definição do processo de difusão e explicar a diferença entre os modelos descritos pela Primeira Lei de Fick e pela Segunda Lei de Fick.
    B) Para a folha metálica em estado estacionário:
    i) Determinar o gradiente de concentração de hidrogênio.
    ii) Determinar o fluxo de hidrogênio através da folha.
  • Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
    • Espessura da folha: \displaystyle L = 2,54\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
    • Concentração na face 1 (alta concentração): \displaystyle C_1 = 5\times10^{14}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-3}}.
    • Concentração na face 2 (baixa concentração): \displaystyle C_2 = 2\times10^{9}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-3}}.
    • Temperatura: \displaystyle 650^\circ\mathrm{C} (informação dada; já embutida no valor de D).
    • Coeficiente de difusão do H em 650^\circ\mathrm{C}: \displaystyle D = 1,678\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}.

Passo 2

Definição didática de difusão (parte A, item 1).
  • Difusão é o transporte de massa devido ao movimento aleatório das partículas, provocado por diferenças de concentração. As partículas tendem a se mover de regiões de maior concentração para regiões de menor concentração até que a concentração se torne uniforme.
  • Em termos práticos: pense numa gota de tinta em água — as moléculas de tinta se espalham por colisões e movimentos térmicos, reduzindo gradientes de concentração com o tempo.

Passo 3

Explicação e fórmula da Primeira Lei de Fick (parte A, item 2 — modelo 1).
  • A Primeira Lei de Fick descreve o fluxo de massa em estado estacionário (ou seja, quando a distribuição de concentração não muda no tempo). Em forma vetorial:
    \mathbf{J} = -D\,\nabla C,
    onde:
    • \displaystyle \mathbf{J} é o vetor fluxo (número de átomos que atravessam por unidade de área por unidade de tempo), unidades \mathrm{atoms\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.
    • \displaystyle D é o coeficiente de difusão, unidades \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}.
    • \displaystyle C é a concentração, unidades \mathrm{atoms\\ m^{-3}}.
    • \displaystyle \nabla C é o gradiente espacial da concentração (variação de C por distância), unidades \mathrm{atoms\\ m^{-4}}.
  • Em uma situação unidimensional (eixo x):
    J_x = -D\,\frac{\partial C}{\partial x}.
    O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de diminuição de concentração (do maior para o menor).
  • Intuição: a Primeira Lei dá o fluxo instantâneo se a distribuição C(x) é conhecida e pode ser usada diretamente em regime estacionário.

Passo 4

Explicação e fórmula da Segunda Lei de Fick (parte A, item 3 — modelo 2) e diferença entre as leis.
  • A Segunda Lei de Fick descreve a evolução temporal da concentração (processo transiente). Supondo D constante:
    \frac{\partial C}{\partial t} = D\,\nabla^{2} C,
    onde \nabla^{2} C é o laplaciano de C (soma das segundas derivadas espaciais). Em 1D:
    \frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}}.
  • Diferença prática entre as leis:
    • A Primeira Lei relaciona fluxo a um gradiente de concentração conhecido (é uma relação local e instantânea). É usada diretamente quando o perfil de concentração é estático (regime estacionário).
    • A Segunda Lei descreve como o perfil de concentração muda no tempo — ou seja, permite calcular C(x,t) quando há condições iniciais e de contorno. Deriva-se da conservação de massa aplicada junto com a Primeira Lei.
    • Em regime estacionário ( \partial C/\partial t = 0), a Segunda Lei reduz-se a \nabla^{2}C = 0. Em 1D isso implica \dfrac{d^{2}C}{dx^{2}}=0, solução linear de C(x). Por isso, numa placa fina com concentrações fixas nas faces, espera-se um perfil linear e assim a Primeira Lei é suficiente para obter o fluxo.

Passo 5

Escolha do método para o problema B e estratégia (aplicação prática).
  • O enunciado diz “estado estacionário”. Logo \partial C/\partial t = 0 e o perfil de concentração é linear entre as faces; portanto aplicamos a Primeira Lei de Fick em 1D.
  • Vamos:
    1. calcular o gradiente de concentração \dfrac{dC}{dx} supondo variação linear entre as duas faces;
    2. usar J_x = -D\,\dfrac{dC}{dx} para obter o fluxo.

Passo 6

Cálculo do gradiente de concentração (item B i)) — explicação e contas passo a passo.
  • Em 1D, com variação linear entre x=0 (face 1, concentração \displaystyle C_1) e x=L (face 2, concentração \displaystyle C_2), o gradiente é:
    \frac{dC}{dx} \approx \frac{C_2 - C_1}{L}.
    Aqui todas as quantidades são as dadas no enunciado.
  • Substituindo os valores (coloquei cada número em TeX):
    \frac{dC}{dx} = \frac{2\times10^{9}\\\ -\\\ 5\times10^{14}}{2,54\times10^{-5}}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-4}}.
  • Faço a subtração no numerador:
    2\times10^{9}\\\ -\\\ 5\times10^{14} = -4{,}99998\times10^{14}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-3}}.
    (Arredondando com os algarismos fornecidos, trata-se essencialmente de -5\times10^{14}.)
  • Agora a divisão:
    \frac{dC}{dx} = \frac{-4{,}99998\times10^{14}}{2,54\times10^{-5}} = -1{,}968504\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-4}}.
  • Arredondando sensatamente (dados têm pouca precisão), posso escrever:
    \frac{dC}{dx} \approx -1{,}97\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-4}}.

Passo 7

Cálculo do fluxo usando a Primeira Lei de Fick (item B ii)) — passos e interpretação do sinal.
  • Fórmula em 1D:
    J_x = -D\,\frac{dC}{dx}.
    Com \displaystyle D = 1{,}678\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}} e \displaystyle \frac{dC}{dx} calculado acima.
  • Substituindo:
    J_x = -\bigl(1{,}678\bigr)\times\bigl(-1{,}968504\times10^{19}\bigr)\\ \mathrm{atoms\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.
  • Produto numérico:
    J_x = 3{,}30078\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.
  • Arredondando de forma consistente:
    J_x \approx 3{,}30\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.
  • Interpretação do sinal: como adotei x no sentido da face 1 (alta concentração) para a face 2 (baixa concentração), o gradiente foi negativo e o produto -D\,\frac{dC}{dx} ficou positivo, isto é, o fluxo está no sentido de escoamento de átomos de hidrogênio da face de alta concentração para a de baixa concentração — exatamente o esperado fisicamente.

Passo 8

Resumo final rápido e dica de prova.
  • Em problemas de difusão em regime estacionário com concentrações fixas nas faces, sempre pense: perfil linear → gradiente \dfrac{C_2-C_1}{L} → aplicar J=-D\,\dfrac{dC}{dx}. Memorize as unidades e interprete o sinal.
  • Se a questão fosse transiente (não estacionária), seria necessário resolver a Segunda Lei de Fick com condições iniciais e de contorno, o que normalmente dá soluções em séries ou funções de erro dependendo da geometria.

Resposta

A) Difusão: transporte de massa por movimento aleatório das partículas devido a diferenças de concentração. A Primeira Lei de Fick ( \mathbf{J}=-D\nabla C) dá o fluxo instantâneo para um perfil de concentração conhecido (usada em regime estacionário); a Segunda Lei de Fick ( \partial C/\partial t = D\nabla^{2}C) descreve a evolução temporal do perfil de concentração (processo transiente).
B i) \dfrac{dC}{dx}\approx -1{,}97\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-4}}
B ii) J_x\approx 3{,}30\times10^{19}\\ \mathrm{atoms\\ m^{-2}\\ s^{-1}} (fluxo da face de alta concentração para a de baixa concentração)

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