A) Apresente a definição do processo de difusão e explique a diferença entre os modelos descritos pela Primeira Lei de Fick e pela Segunda Lei de Fick.
B) Uma folha de ferro CCC (cúbica de corpo centrado) com
de espessura é usada para separar um gás com alta concentração de hidrogênio de um gás com baixa concentração de hidrogênio a
, em um estado de difusão em estado estacionário. No estado de equilíbrio, uma das faces da folha apresenta
átomos de
, enquanto a outra apresenta
átomos de
. Determine
o gradiente de concentração de hidrogênio e
o fluxo de hidrogênio através da folha. Coeficiente de Difusão do H em
.
B) Uma folha de ferro CCC (cúbica de corpo centrado) com
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
-
Perguntas:
A) Apresentar a definição do processo de difusão e explicar a diferença entre os modelos descritos pela Primeira Lei de Fick e pela Segunda Lei de Fick.
B) Para a folha metálica em estado estacionário:
i) Determinar o gradiente de concentração de hidrogênio.
ii) Determinar o fluxo de hidrogênio através da folha. -
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- Espessura da folha:
. - Concentração na face 1 (alta concentração):
. - Concentração na face 2 (baixa concentração):
. - Temperatura:
(informação dada; já embutida no valor de ). - Coeficiente de difusão do H em
: .
- Espessura da folha:
Passo 2
Definição didática de difusão (parte A, item 1).
- Difusão é o transporte de massa devido ao movimento aleatório das partículas, provocado por diferenças de concentração. As partículas tendem a se mover de regiões de maior concentração para regiões de menor concentração até que a concentração se torne uniforme.
- Em termos práticos: pense numa gota de tinta em água — as moléculas de tinta se espalham por colisões e movimentos térmicos, reduzindo gradientes de concentração com o tempo.
Passo 3
Explicação e fórmula da Primeira Lei de Fick (parte A, item 2 — modelo 1).
-
A Primeira Lei de Fick descreve o fluxo de massa em estado estacionário (ou seja, quando a distribuição de concentração não muda no tempo). Em forma vetorial:onde:
-
é o vetor fluxo (número de átomos que atravessam por unidade de área por unidade de tempo), unidades . -
é o coeficiente de difusão, unidades . -
é a concentração, unidades . -
é o gradiente espacial da concentração (variação de por distância), unidades .
-
-
Em uma situação unidimensional (eixo
): O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de diminuição de concentração (do maior para o menor). -
Intuição: a Primeira Lei dá o fluxo instantâneo se a distribuição
é conhecida e pode ser usada diretamente em regime estacionário.
Passo 4
Explicação e fórmula da Segunda Lei de Fick (parte A, item 3 — modelo 2) e diferença entre as leis.
-
A Segunda Lei de Fick descreve a evolução temporal da concentração (processo transiente). Supondo
constante: ondeé o laplaciano de (soma das segundas derivadas espaciais). Em 1D: -
Diferença prática entre as leis:
- A Primeira Lei relaciona fluxo a um gradiente de concentração conhecido (é uma relação local e instantânea). É usada diretamente quando o perfil de concentração é estático (regime estacionário).
- A Segunda Lei descreve como o perfil de concentração muda no tempo — ou seja, permite calcular
quando há condições iniciais e de contorno. Deriva-se da conservação de massa aplicada junto com a Primeira Lei. - Em regime estacionário (
), a Segunda Lei reduz-se a . Em 1D isso implica , solução linear de . Por isso, numa placa fina com concentrações fixas nas faces, espera-se um perfil linear e assim a Primeira Lei é suficiente para obter o fluxo.
Passo 5
Escolha do método para o problema B e estratégia (aplicação prática).
- O enunciado diz “estado estacionário”. Logo
e o perfil de concentração é linear entre as faces; portanto aplicamos a Primeira Lei de Fick em 1D. - Vamos:
- calcular o gradiente de concentração
supondo variação linear entre as duas faces; - usar
para obter o fluxo.
- calcular o gradiente de concentração
Passo 6
Cálculo do gradiente de concentração (item B i)) — explicação e contas passo a passo.
-
Em 1D, com variação linear entre
(face 1, concentração ) e (face 2, concentração ), o gradiente é: Aqui todas as quantidades são as dadas no enunciado. -
Substituindo os valores (coloquei cada número em TeX):
-
Faço a subtração no numerador:(Arredondando com os algarismos fornecidos, trata-se essencialmente de
.) -
Agora a divisão:
-
Arredondando sensatamente (dados têm pouca precisão), posso escrever:
Passo 7
Cálculo do fluxo usando a Primeira Lei de Fick (item B ii)) — passos e interpretação do sinal.
-
Fórmula em 1D:Com
e calculado acima. -
Substituindo:
-
Produto numérico:
-
Arredondando de forma consistente:
-
Interpretação do sinal: como adotei
no sentido da face 1 (alta concentração) para a face 2 (baixa concentração), o gradiente foi negativo e o produto ficou positivo, isto é, o fluxo está no sentido de escoamento de átomos de hidrogênio da face de alta concentração para a de baixa concentração — exatamente o esperado fisicamente.
Passo 8
Resumo final rápido e dica de prova.
- Em problemas de difusão em regime estacionário com concentrações fixas nas faces, sempre pense: perfil linear → gradiente
→ aplicar . Memorize as unidades e interprete o sinal. - Se a questão fosse transiente (não estacionária), seria necessário resolver a Segunda Lei de Fick com condições iniciais e de contorno, o que normalmente dá soluções em séries ou funções de erro dependendo da geometria.
Resposta
A) Difusão: transporte de massa por movimento aleatório das partículas devido a diferenças de concentração. A Primeira Lei de Fick (
) dá o fluxo instantâneo para um perfil de concentração conhecido (usada em regime estacionário); a Segunda Lei de Fick (
) descreve a evolução temporal do perfil de concentração (processo transiente).
B i)
B ii) (fluxo da face de alta concentração para a de baixa concentração)
B i)
B ii)