- Apresente o diagrama de Bode (magnitude apenas) para o sistema linear e invariante no tempo apresentado a seguir. Desenhe as assíntotas e o esboço da resposta verdadeira. Apresente valores de frequência/amplitude para todos os pontos de quebra, valores máximos e mínimos e pontos importantes para a caracterização das curvas.
Para o sinal de entrada
, determine o sinal obtido na saída deste sistema.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- O enunciado dá a função de transferência
e pede:
- Apresentar o diagrama de Bode (magnitude apenas): desenhar as assíntotas, esboçar a resposta verdadeira, e entregar valores de frequência/amplitude para todos os pontos de quebra, valores máximos/minimos e pontos importantes para caracterização.
- Para o sinal de entrada
determinar o sinal de saída do sistema LTI dado.
- Informações relevantes (do enunciado):
- Polinômios em
: numerador grau (zero de ordem 2 em ), denominador com polos em (ordem 2) e (ordem 1). - As frequências de interesse no sinal de entrada são
e . - Deve-se fornecer o diagrama de Bode de magnitude com assíntotas e o esboço correto (ou seja, indicar os valores exatos/aproximados nos pontos de quebra e em pontos importantes).
- Polinômios em
A partir daqui vou construir passo a passo o Bode de magnitude (assíntotas e curva real) e então calcular a resposta em regime senoidal para cada componente do sinal de entrada e somar para obter
.
Passo 2
Simplificar a função de transferência para montar o Bode de forma direta.
- Primeiro fatoramos os termos para ver constantes adimensionais:
- Substituindo em
obtemos
Observação importante: a constante multiplicativa simplificou para
. Isso facilita o cálculo do Bode porque não há ganho dc extra.
- Escrevendo a resposta em frequência (
):
A magnitude (para cálculos numéricos) pode ser escrita como
A fase (fórmula que usarei depois) é
(Explicação rápida:
tem fase
e cada fator do denominador contribui com
.)
Passo 3
Identificar zeros, polos e pontos de quebra (frequências características) e as assíntotas do Bode (magnitude).
-
Zeros/polos:
- Dois zeros em
(numerador ) → contribuem com +40 dB/decade no trecho abaixo do primeiro polo. - Polos: pólo duplo em
(frequência de quebra ) e pólo simples em (quebra em ).
- Dois zeros em
-
Pontos de quebra finitos:
e . (O zero em é um “quebra” em que produz a inclinação inicial.) -
Slope (inclinações) das assíntotas (magnitude em dB/dec):
- Para
: cada zero de origem dá +20 dB/dec; com dois zeros temos +40 dB/dec. - Para
: o pólo duplo em 10 introduz -40 dB/dec, anulando os +40 dB/dec → inclinação ≈ 0 dB/dec (comportamento aproximadamente constante/platau). - Para
: soma-se o pólo em 500 que dá mais -20 dB/dec → inclinação final ≈ -20 dB/dec.
- Para
-
Como a constante global é
, uma referência conveniente: em a assíntota de baixa frequência dá
Assim as assíntotas passam por (aprox.)
; a partir daí subimos +40 dB/dec até
, ficamos aproximadamente constantes entre
e
e caímos -20 dB/dec acima de
.
Passo 4
Construir numericamente as assíntotas em pontos típicos e calcular valores assintóticos úteis (em dB).
Usando as regras de assíntotas:
-
Região
(slope +40 dB/dec): -
-
-
(assíntota).
-
-
Região
(slope 0 dB/dec, assíntota aproximadamente constante): - assíntota ≈
neste intervalo.
- assíntota ≈
-
Região
(slope -20 dB/dec): - fórmula assintótica:
- Por exemplo, em
(duas décadas acima de e uma década acima de ):
- fórmula assintótica:
Esses são os níveis assintóticos; a curva real estará próxima dessas linhas, com desvios de alguns dB ao redor das quebras.
Passo 5
Calcular a curva exata (valores numéricos) em pontos importantes:
. Em cada ponto calculo
(linear e dB) e
.
Usarei as fórmulas:
Cálculos (arredondados com precisão razoável para a prova):
-
Para
: -
-
-
→ -
(≈178,8°).
-
-
Para
: -
→ (praticamente ). -
-
-
Para
(quebra): -
-
→ -
(≈88,9°).
-
-
Para
: - cálculo direto:
→ -
(≈0,11°).
- cálculo direto:
-
Para
(quebra): -
→ -
(≈-42,72°).
-
-
Para
(frequência do segundo termo do sinal): -
-
(usar a forma simplificada dá o mesmo numericamente)
→ valor numérico→ -
(≈-87,02°).
-
Comentário: os cálculos mostrados acima usam as fórmulas exatas; arredondei os resultados para poucas casas decimais úteis para a prova. Note que a assíntota previu
no platô teórico entre 10 e 500, mas a curva real fica alguns dB abaixo em torno de
e
(efeito de transição não ideal).
Passo 6
Esboço do Bode de magnitude (como desenhar na prova) — instruções passo a passo para montar o gráfico:
- Eixos: escala logarítmica no eixo horizontal (
de a rad/s, por exemplo) e dB no vertical (ex.: -60 a +60 dB). - Marcar as quebras em
e . - Traçar as assíntotas:
- Antes de
: reta de inclinação +40 dB/dec que passa por . Exemplos: em está em . - Entre
e : reta horizontal (0 dB/dec) em nível assintótico . - Após
: reta com inclinação que passa por em ; em a assíntota está em .
- Antes de
- Traçar a curva real (esboço): cerca de
-
: (coincide quase exato com assíntota). -
: . -
: curva real em (alguns dB abaixo da assíntota de ). -
: (próximo ao platô). -
: (ainda no platô, antes da queda). -
: .
-
- Não há pico de ressonância pronunciado (os polos são reais; apenas transições suaves), portanto máximos locais ocorrem aproximadamente perto do final da região de subida / início do platô (valores exatos listados acima). O valor máximo aproximado da resposta de magnitude acontece por volta da região entre
e e é da ordem de (não há pico de alta qualidade Q).
Passo 7
Horas da teoria aplicada para transformar sinais no domínio do tempo (regra usada para calcular saída de um sistema LTI em regime permanente senoidal):
- Teorema (fórmula prática): se a entrada for
e o sistema LTI tem resposta em frequência , então a saída em regime senoidal será
- Se a entrada estiver em forma
, convém converter para cosseno usando e aplicar a mesma fórmula.
Vou aplicar essa regra a cada termo do sinal
.
Passo 8
Aplicar a fórmula ao primeiro termo de
.
Entrada 1:
.
-
- Já calculei acima (Passo 5) que
- Pela regra, a saída correspondente é
- Simplificando a fase:
- Logo:
Observação física: o sistema praticamente restaurou a fase (anula a fase de entrada) e o ganho é praticamente
nessa frequência.
Passo 9
Aplicar a fórmula ao segundo termo de
.
Entrada 2:
Procedimento:
- Converto para cosseno:
então Calcule . Como , - Para
já computei - Aplicando a fórmula:
- Produto da amplitude:
- Soma das fases:
- Portanto
Observação:
é praticamente
(diferença de ordem
rad). Isso significa que, para esse componente de alta frequência, o sistema converteu o seno de entrada em uma seno (com quase mesma fase) e amplificou fortemente (ganho ≈5 multiplicando a
dá ≈1).
Passo 10
Somar as componentes para obter a saída total
(superposição, pois o sistema é linear).
Somando
e
:
Podemos também apresentar
em forma de seno (porque
):
- Como
, obtemos
Assim, uma forma alternativa para
é
Resposta
Bode (magnitude) — resumo dos pontos-chave (valores aproximados):
- Quebras:
e . - Assíntotas: inclinações +40 dB/dec para
; 0 dB/dec entre e ; −20 dB/dec para . - Valores exatos/avaliados:
-
(≈ ). -
(≈ ). -
(≈ ), -
(≈ ), -
(≈ ), -
(≈ ),
-
- Esboço: subir +40 dB/dec até ~
, ficar próximo de um platô por a (nível ≈ – dB), e então cair −20 dB/dec acima de . (No desenho marcar os pontos numéricos acima e traçar a curva real próxima às assíntotas.)
Saída do sistema
(regime permanente, aproximada):
Alternativamente (segunda componente em forma de seno):