1. Seja \operatorname{ret}(t) uma função do tempo caracterizada por \operatorname{ret}(t)=1 para |t|<1 / 2 e \operatorname{ret}(t)=0 para |t|>1 / 2, determine:
a) A transformada de Fourier de x(t)=\operatorname{sen}(1000 \pi t) \operatorname{ret}(t-1 / 2) por integração;

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a função tempo
\operatorname{ret}(t)\) tal que \(\operatorname{ret}(t)=1\) para \(|t|<1/2\) e \(\operatorname{ret}(t)=0\) para \(|t|>1/2\). - A função a transformar é \[x(t)=\operatorname{sen}(1000\pi t)\,\operatorname{ret}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Observação importante (peguei do enunciado): como \operatorname{ret}(t-1/2)=1 apenas quando \bigl|t-\tfrac12\bigr|<\tfrac12, o suporte de x(t) é o intervalo 0<t<1. Ou seja,
x(t)=\begin{cases} \sin(1000\pi t), & 0<t<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • O que pedimos: determinar a transformada de Fourier de (x(t)] por integração. Vou tomar a convenção usual da transformada contínua
    X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.]

Passo 2

Preparar a integral que vamos calcular: como x(t)\) é não nula só em \(0<t<1\), a transformada vira uma integral naquele intervalo. Escrevo isso explicitamente: \[X(\omega)=\int_{0}^{1} \sin(1000\pi t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Antes de integrar, explico duas ferramentas que vou usar (aquelas “aulas rápidas”):
  • Representação da seno por exponenciais complexas (fórmula de Euler):
\sin(1000\pi t)=\frac{e^{j1000\pi t}-e^{-j1000\pi t}}{2j}.
Isto é útil porque integrais de exponenciais são diretas.
  • A integral básica:
\int_{0}^{1} e^{j a t}\,dt= \begin{cases} \dfrac{e^{j a}-1}{j a}, & a\neq 0,\\[6pt] 1, & a=0, \end{cases}
que resulta da primitiva e^{j a t}/(j a)\]. Se \(a\to0 o quociente tende a 1 (limite que dá continuidade).]

Passo 3

Substituo a representação exponencial de \sin dentro da integral e separo em duas integrais simples:
X(\omega)=\int_{0}^{1}\frac{e^{j1000\pi t}-e^{-j1000\pi t}}{2j}\,e^{-j\omega t}\,dt =\frac{1}{2j}\Biggl[\int_{0}^{1}e^{j(1000\pi-\omega)t}\,dt-\int_{0}^{1}e^{j(-1000\pi-\omega)t}\,dt\Biggr].
Agora aplico a fórmula da integral exponencial para cada termo (aqui a_{1}=1000\pi-\omega e a_{2}=-1000\pi-\omega):
\int_{0}^{1}e^{j a_{1} t}\,dt=\frac{e^{j a_{1}}-1}{j a_{1}},\qquad \int_{0}^{1}e^{j a_{2} t}\,dt=\frac{e^{j a_{2}}-1}{j a_{2}}.
Substituindo de volta:
X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[\frac{e^{j(1000\pi-\omega)}-1}{j(1000\pi-\omega)}-\frac{e^{j(-1000\pi-\omega)}-1}{j(-1000\pi-\omega)}\right].

Passo 4

Simplifico os fatores complexos e reorganizo. Primeiro, note que \dfrac{1}{2j}\cdot\dfrac{1}{j}=\dfrac{1}{2j^{2}}=-\dfrac{1}{2}. Assim
X(\omega)=-\frac{1}{2}\left[\frac{e^{j(1000\pi-\omega)}-1}{1000\pi-\omega}-\frac{e^{j(-1000\pi-\omega)}-1}{-1000\pi-\omega}\right].
Reescrevendo o segundo denominador e juntando os sinais:
X(\omega)=-\frac{1}{2}\left[\frac{e^{j(1000\pi-\omega)}-1}{1000\pi-\omega}+\frac{e^{-j(1000\pi+\omega)}-1}{1000\pi+\omega}\right].
Agora uso a identidade útil e^{j\alpha}-1= e^{j\alpha/2}\,2j\sin(\alpha/2) para cada numerador, que transforma diferenças de exponenciais em senos multiplicados por fase. Faço isso com \alpha=1000\pi-\omega e \beta=-(1000\pi+\omega) (note que para \beta a forma dá o correspondente com sinal apropriado). Após algébrica cuidadosa (mostrar passo a passo dá a conta), obtemos uma forma com funções \sin no numerador e os correspondentes denominadores.
Para ficar mais elegante e didático, introduzo a função sinc clássica (aqui usada como \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}, com \operatorname{sinc}(0)=1 por continuidade). Usando \omega_{0}=1000\pi e simplificando, chega-se à forma
X(\omega)=-\frac{j}{2}\,e^{-j\omega/2}\Biggl[e^{j\omega_{0}/2}\,\operatorname{sinc}\!\Bigl(\frac{\omega_{0}-\omega}{2}\Bigr) -e^{-j\omega_{0}/2}\,\operatorname{sinc}\!\Bigl(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}\Bigr)\Biggr],
onde \omega_{0}=1000\pi.

Passo 5

Interpretação curta (ajuda a memorizar para prova):
  • O produto no tempo \sin(\omega_{0}t)\,\operatorname{ret}(t-1/2) é uma senoide truncada no intervalo 0<t<1. Isso gera no domínio da frequência duas “bandas” centradas em \omega=\pm\omega_{0}, cada uma com formato de sinc (lóbulo principal + lóbulos laterais), e o deslocamento temporal (centro do retângulo em t=1/2) aparece como o fator de fase e^{-j\omega/2}.
  • A expressão acima é a versão fechada, contínua e válida para todo \omega. Nos pontos \omega=\pm\omega_{0} as frações foram tratadas pelo limite (ou pela definição \operatorname{sinc}(0)=1), então a expressão é contínua lá também.

Resposta

X(\omega)=-\frac{j}{2}\,e^{-j\omega/2}\left[e^{j(1000\pi)/2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{1000\pi-\omega}{2}\right) -e^{-j(1000\pi)/2}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{1000\pi+\omega}{2}\right)\right],
com \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x} (e \operatorname{sinc}(0)=1).

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