Seja \operatorname{ret}(t) uma função do tempo caracterizada por \operatorname{ret}(t)=1 para |t|<1 / 2 e \operatorname{ret}(t)=0 para |t|>1 / 2, determine:
a) A transformada de Fourier de x(t)=\operatorname{sen}(1000 \pi t) \operatorname{ret}(t-1 / 2) por integração;
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Foi dada a função tempo
\operatorname{ret}(t)\) tal que \(\operatorname{ret}(t)=1\) para \(|t|<1/2\) e \(\operatorname{ret}(t)=0\) para \(|t|>1/2\).
- A função a transformar é
\[x(t)=\operatorname{sen}(1000\pi t)\,\operatorname{ret}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr).
Observação importante (peguei do enunciado): como \operatorname{ret}(t-1/2)=1 apenas quando \bigl|t-\tfrac12\bigr|<\tfrac12, o suporte de x(t) é o intervalo 0<t<1. Ou seja,
O que pedimos: determinar a transformada de Fourier de (x(t)] por integração. Vou tomar a convenção usual da transformada contínua X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.]
Passo 2
Preparar a integral que vamos calcular: como x(t)\) é não nula só em \(0<t<1\), a transformada vira uma integral naquele intervalo. Escrevo isso explicitamente:
\[X(\omega)=\int_{0}^{1} \sin(1000\pi t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Antes de integrar, explico duas ferramentas que vou usar (aquelas “aulas rápidas”):
Representação da seno por exponenciais complexas (fórmula de Euler):
Agora uso a identidade útil e^{j\alpha}-1= e^{j\alpha/2}\,2j\sin(\alpha/2) para cada numerador, que transforma diferenças de exponenciais em senos multiplicados por fase. Faço isso com \alpha=1000\pi-\omega e \beta=-(1000\pi+\omega) (note que para \beta a forma dá o correspondente com sinal apropriado). Após algébrica cuidadosa (mostrar passo a passo dá a conta), obtemos uma forma com funções \sin no numerador e os correspondentes denominadores.
Para ficar mais elegante e didático, introduzo a função sinc clássica (aqui usada como \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}, com \operatorname{sinc}(0)=1 por continuidade). Usando \omega_{0}=1000\pi e simplificando, chega-se à forma
Interpretação curta (ajuda a memorizar para prova):
O produto no tempo \sin(\omega_{0}t)\,\operatorname{ret}(t-1/2) é uma senoide truncada no intervalo 0<t<1. Isso gera no domínio da frequência duas “bandas” centradas em \omega=\pm\omega_{0}, cada uma com formato de sinc (lóbulo principal + lóbulos laterais), e o deslocamento temporal (centro do retângulo em t=1/2) aparece como o fator de fase e^{-j\omega/2}.
A expressão acima é a versão fechada, contínua e válida para todo \omega. Nos pontos \omega=\pm\omega_{0} as frações foram tratadas pelo limite (ou pela definição \operatorname{sinc}(0)=1), então a expressão é contínua lá também.