1. Seja \operatorname{ret}(t) uma função do tempo caracterizada por \operatorname{ret}(t)=1 para |t|<1 / 2 e \operatorname{ret}(t)=0 para |t|>1 / 2, determine:
b) A transformada de Fourier de \mathrm{x}(\mathrm{t})=\operatorname{sen}(1000 \pi \mathrm{t}) \operatorname{ret}(\mathrm{t}-1 / 2) utilizando tabela + propriedades.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Temos a função \operatorname{ret}(t) definida por \operatorname{ret}(t)=1 para |t|<1/2 e \operatorname{ret}(t)=0 para |t|>1/2. Ou seja, é um pulso retangular de largura 1 centrado em t=0.
  • A função cuja transformada queremos é
x(t)=\operatorname{sen}(1000\pi t)\,\operatorname{ret}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Objetivo: determinar a transformada de Fourier de x(t) usando tabela + propriedades.
Vou usar a convenção de transformada de Fourier em frequência angular \omega:
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Defino também a frequência angular da senoide:
\omega_0 = 1000\pi.

Passo 2

Transformada de Fourier do pulso retangular não deslocado \operatorname{ret}(t).
Calculemos
R(\omega)=\mathcal{F}\{\operatorname{ret}(t)\}=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-j\omega t}\,dt.
Integrando:
R(\omega)=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{t=-1/2}^{t=1/2} =\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{-j\omega}.
Usando e^{-j\alpha}-e^{j\alpha}=-2j\sin\alpha obtemos
R(\omega)=\frac{-2j\sin(\omega/2)}{-j\omega}=\frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}.
É conveniente escrever usando a função sinc padrão \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Então
R(\omega)=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}=\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr).
Observação prática: para \omega=0 toma-se o limite que dá R(0)=1, coerente com área do pulso.

Passo 3

Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo (time shift).
Propriedade (tabelada): se f(t)\overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow}F(\omega), então
f(t-t_0)\overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow}e^{-j\omega t_0}F(\omega).
Aqui t_0=\tfrac{1}{2} e f(t)=\operatorname{ret}(t), portanto
\mathcal{F}\{\operatorname{ret}(t-\tfrac{1}{2})\}=e^{-j\omega/2}\,R(\omega) = e^{-j\omega/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr).

Passo 4

Expressar \sin(1000\pi t) como combinação de exponenciais e usar linearidade.
Usamos a identidade de Euler:
\operatorname{sen}(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Portanto
x(t)=\operatorname{sen}(\omega_0 t)\,\operatorname{ret}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr) =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}\Bigr)\operatorname{ret}\!\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr).
Pela linearidade da transformada, basta transformar cada termo do tipo \operatorname{ret}(t-\tfrac12)\,e^{\pm j\omega_0 t} e combinar.

Passo 5

Propriedade de modulação (deslocamento em frequência) e aplicação.
Propriedade (tabelada): se f(t)\overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow}F(\omega), então
f(t)\,e^{j\omega_0 t}\overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow}F(\omega-\omega_0).
Usando f(t)=\operatorname{ret}(t-\tfrac12) cuja transformada encontramos no Passo 3, temos
\mathcal{F}\{\operatorname{ret}(t-\tfrac12)\,e^{j\omega_0 t}\} = \Bigl[e^{-j\omega/2}\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega}{2}\bigr)\Bigr]_{\omega\mapsto \omega-\omega_0} = e^{-j(\omega-\omega_0)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega-\omega_0}{2}\bigr).
Analogamente,
\mathcal{F}\{\operatorname{ret}(t-\tfrac12)\,e^{-j\omega_0 t}\} = e^{-j(\omega+\omega_0)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega+\omega_0}{2}\bigr).

Passo 6

Combinar os termos para obter X(\omega).
Voltando à expressão com o fator 1/(2j),
X(\omega)=\mathcal{F}\{x(t)\} =\frac{1}{2j}\Biggl[ e^{-j(\omega-\omega_0)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega-\omega_0}{2}\bigr) - e^{-j(\omega+\omega_0)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega+\omega_0}{2}\bigr) \Biggr],
onde lembramos \omega_0=1000\pi.
Esta expressão já é o resultado pedido: foi obtida a partir da transformada do retângulo (tabela) e das propriedades de deslocamento no tempo e deslocamento em frequência (modulação), além da identidade que expressa seno em termos de exponenciais.

Resposta

X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[ e^{-j(\omega-\,1000\pi)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega-1000\pi}{2}\bigr) - e^{-j(\omega+\,1000\pi)/2}\,\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{\omega+1000\pi}{2}\bigr) \right]

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