- Seja
uma função do tempo caracterizada por
para
e
para
, determine:
b) A transformada de Fourier de
utilizando tabela + propriedades.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
- Temos a função
definida por para e para . Ou seja, é um pulso retangular de largura centrado em . - A função cuja transformada queremos é
- Objetivo: determinar a transformada de Fourier de
usando tabela + propriedades.
Vou usar a convenção de transformada de Fourier em frequência angular
:
Defino também a frequência angular da senoide:
Passo 2
Transformada de Fourier do pulso retangular não deslocado
.
Calculemos
Integrando:
Usando
obtemos
É conveniente escrever usando a função sinc padrão
. Então
Observação prática: para
toma-se o limite que dá
, coerente com área do pulso.
Passo 3
Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo (time shift).
Propriedade (tabelada): se
, então
Aqui
e
, portanto
Passo 4
Expressar
como combinação de exponenciais e usar linearidade.
Usamos a identidade de Euler:
Portanto
Pela linearidade da transformada, basta transformar cada termo do tipo
e combinar.
Passo 5
Propriedade de modulação (deslocamento em frequência) e aplicação.
Propriedade (tabelada): se
, então
Usando
cuja transformada encontramos no Passo 3, temos
Analogamente,
Passo 6
Combinar os termos para obter
.
Voltando à expressão com o fator
,
onde lembramos
.
Esta expressão já é o resultado pedido: foi obtida a partir da transformada do retângulo (tabela) e das propriedades de deslocamento no tempo e deslocamento em frequência (modulação), além da identidade que expressa seno em termos de exponenciais.