Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exemplo 4.26, Lathi: H(s)=\frac{10(s+100)}{s^{2}+2 s+100}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
H(s)=\frac{10(s+100)}{s^{2}+2s+100}
e pede o esboço do diagrama de Bode: magnitude (log-magnitude em dB) e fase (em graus).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Ganho multiplicativo 10 no numerador.
  • Zero real em s=-100 (logo frequência de quebra \omega_z=100\\ \text{rad/s}).
  • Denominador quadrático s^{2}+2s+100 (par de polos complexos).
    O que precisamos apresentar no esboço:
  • As frequências de quebra (corner frequencies).
  • As retas assintóticas da magnitude (slope em dB/dec) e sua expressão.
  • O comportamento real (picos/resonância) em torno dos polos se for relevante.
  • A fase aproximada (assintótica) e alguns valores numéricos-chave para guiar o traço real.

Passo 2

Determinar polos, frequência natural e amortecimento (para entender o comportamento perto do polo complexo).
Reescrevo o denominador na forma padrão \,s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}\,. Comparando:
\omega_n^{2}=100 \quad\Rightarrow\quad \omega_n=10, \qquad 2\zeta\omega_n=2 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{2}{2\omega_n}=\frac{1}{\omega_n}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Portanto \omega_n=10\\ \text{rad/s} e \zeta=0{,}1 (pouco amortecido). Os polos são
s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=-1\pm j\,10\sqrt{1-0{,}01}\approx -1\pm j\,9{,}95.
Resumo útil (extraído do enunciado e desses cálculos):
  • Zero em \omega_z=100.
  • Par de polos centrado em \omega_n=10 com \zeta=0{,}1 (esperar ressonância significativa perto de \omega\approx10).

Passo 3

Regras e ferramentas que vamos usar (mini-aula prática, sem pular etapas):
  • Magnitude em dB: \,L(\omega)=20\log_{10}|H(j\omega)|\,. Aqui |H(j\omega)| é o módulo da função quando s=j\omega.
  • Contribuições assintóticas:
    • Um zero simples em \omega_z soma +20\\ \text{dB/dec} para \omega>\omega_z (fase total +90^\circ distribuída em cerca de duas décadas centradas em \omega_z).
    • Um polo simples soma -20\\ \text{dB/dec} para \omega>\omega_p (fase total -90^\circ).
    • Um par de polos complexos (segunda ordem) dá -40\\ \text{dB/dec} acima de \omega_n (fase total -180^\circ distribuída em duas décadas centradas em \omega_n).
  • Para esboço assintótico: localizar as frequências de quebra e somar inclinações.
  • Para fase assintótica: cada zero/polo contribui com \pm90^\circ no total, a transição típica ocorre entre \omega/10 e 10\omega da frequência de quebra.

Passo 4

Cálculo do ganho DC e dos cantos assintóticos da magnitude:
  • Ganho em \omega=0:
H(0)=\frac{10(0+100)}{0+0+100}=10 \quad\Rightarrow\quad L(0)=20\log_{10}(10)=20\\ \text{dB}.
  • Frequências de quebra (extraídas do Passo 2): \omega_{p}=\omega_n=10\\ \text{rad/s} (par de polos) e \omega_{z}=100\\ \text{rad/s} (zero).
  • Retas assintóticas (em dB):
    • Para \omega<10: nenhum polo/zero ativo → inclinação 0\\ \text{dB/dec}, valor L(\omega)=20\\ \text{dB}.
    • Para 10<\omega<100: o par de polos contribui com -40\\ \text{dB/dec}, logo a reta é L(\omega)=20-40\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{10}\right)\quad(10<\omega<100).Em particular, na década seguinte ( \omega=100) a assíntota dá L(100)=20-40\cdot 1= -20\\ \text{dB}.
    • Para \omega>100: soma do -40\\ \text{dB/dec} dos polos com +20\\ \text{dB/dec} do zero → inclinação final -20\\ \text{dB/dec}. A expressão conveniente a partir de \omega=100 é L(\omega)=-20-20\log_{10}\!\left(\frac{\omega}{100}\right)\quad(\omega>100).
Essas são as retas assintóticas que se desenham no diagrama de magnitude.

Passo 5

Cálculo de pontos numéricos importantes (ajuda a posicionar o traço real, com contas passo a passo).
A expressão exata do módulo em s=j\omega é
|H(j\omega)|=\frac{10\sqrt{(\omega)^{2}+100^{2}}}{\sqrt{(100-\omega^{2})^{2}+(2\omega)^{2}}}.
Vou calcular |H(j\omega)| e L(\omega)=20\log_{10}|H(j\omega)| em \omega=1,\;10,\;100,\;1000.
  1. \omega=1:
\text{num}=\sqrt{1^{2}+100^{2}}=\sqrt{10001}\approx100{,}005,
\text{den}=\sqrt{(100-1)^{2}+(2\cdot1)^{2}}=\sqrt{99^{2}+4}\approx99{,}020.
|H(j1)|\approx10\cdot\frac{100{,}005}{99{,}020}\approx10{,}10\quad\Rightarrow\quad L(1)\approx20{,}08\\ \text{dB}.
  1. \omega=10 (ponto crítico, \omega_n):
\text{num}=\sqrt{10^{2}+100^{2}}=\sqrt{10100}\approx100{,}4988,
\text{den}=\sqrt{(100-100)^{2}+(2\cdot10)^{2}}=\sqrt{0+400}=20.
|H(j10)|\approx10\cdot\frac{100{,}4988}{20}=50{,}2494\quad\Rightarrow\quad L(10)\approx34{,}03\\ \text{dB}.
Observação: aqui aparece um pico grande em \omega\approx10 devido a \zeta pequeno.
  1. \omega=100 (zero ativo):
\text{num}=\sqrt{100^{2}+100^{2}}=100\sqrt{2}\approx141{,}4214,
\text{den}=\sqrt{(100-10000)^{2}+(2\cdot100)^{2}}=\sqrt{(-9900)^{2}+200^{2}}\approx9902{,}02.
|H(j100)|\approx10\cdot\frac{141{,}4214}{9902{,}02}\approx0{,}1428\quad\Rightarrow\quad L(100)\approx-16{,}93\\ \text{dB}.
  1. \omega=1000:
\text{num}\approx\sqrt{1000^{2}+100^{2}}=\sqrt{1{,}010{,}000}\approx1004{,}99,
\text{den}\approx\sqrt{(100-10^{6})^{2}+(2000)^{2}}\approx999{,}902\\ (\text{aprox}),
|H(j1000)|\approx10\cdot\frac{1004{,}99}{999{,}902}\approx0{,}01005\quad\Rightarrow\quad L(1000)\approx-39{,}95\\ \text{dB}.
Esses pontos numéricos dizem onde o traço real passa: L(1)\approx20{,}08\\ \text{dB}, pico L(10)\approx34{,}03\\ \text{dB}, L(100)\approx-16{,}93\\ \text{dB}, L(1000)\approx-39{,}95\\ \text{dB}.

Passo 6

Interpretação física e nota sobre ressonância:
  • O amortecimento \zeta=0{,}1 corresponde a um fator de qualidade Q=\dfrac{1}{2\zeta}=5. Q alto → ressonância pronunciada. É por isso que em \omega\approx10 há um pico de magnitude bem acima da reta assintótica que preveria apenas uma queda a partir de 20\\ \text{dB}.
  • O traço assintótico corta aproximadamente por L(10)=20\\ \text{dB} (início da queda) mas a curva real sobe até \approx34\\ \text{dB} antes de descer; depois segue a inclinação -40\\ \text{dB/dec} até perto de \omega=100, onde o zero reduz a inclinação para -20\\ \text{dB/dec}.

Passo 7

Esboço da fase (mini-aula e cálculos de pontos-chaves).
  • Regra prática (assintótica): o par de polos em \omega_n=10 causa transição total de -180^\circ aproximadamente entre \omega\approx1 e \omega\approx100 (mais precisamente uma transição centrada em 10, ocorrendo grosso modo de 10^{-1}\omega_n a 10^{1}\omega_n). O zero em \omega_z=100 acrescenta +90^\circ no total, com transição ocorrendo aproximadamente de \omega=10 a \omega=1000.
  • Assimetrias e valores mais precisos: a fase exata de H(j\omega) é \angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right)-\operatorname{atan2}\!\big(2\omega,\;100-\omega^{2}\big),onde \operatorname{atan2}(y,x) trata corretamente o quadrante do denominador.
  • Calculemos alguns valores numéricos (passo a passo com arctan e correção de quadrante):
  1. \omega=1:
\angle\text{num}=\arctan\!\left(\tfrac{1}{100}\right)\approx0{,}573^\circ, \quad \angle\text{den}=\arctan\!\left(\tfrac{2}{99}\right)\approx1{,}157^\circ,
\angle H(j1)\approx0{,}573^\circ-1{,}157^\circ\approx -0{,}58^\circ\\ (\text{próximo de }0^\circ).ó
  1. \omega=10:
\angle\text{num}=\arctan\!\left(\tfrac{10}{100}\right)\approx5{,}71^\circ, \quad \text{den}:\\ \text{real}=0,\\ \text{im}=20\Rightarrow\angle\text{den}=+90^\circ,
\angle H(j10)\approx5{,}71^\circ-90^\circ\approx -84{,}29^\circ.
  1. \omega=30:
\angle\text{num}=\arctan\!\left(\tfrac{30}{100}\right)\approx16{,}70^\circ, \quad \angle\text{den}=\operatorname{atan2}(60,\;100-900)=\operatorname{atan2}(60,-800)\approx175{,}71^\circ,
\angle H(j30)\approx16{,}70^\circ-175{,}71^\circ\approx -159{,}01^\circ.
  1. \omega=100:
\angle\text{num}=\arctan\!\left(\tfrac{100}{100}\right)=45^\circ, \quad \angle\text{den}=\operatorname{atan2}(200,\;100-10000)=\operatorname{atan2}(200,-9900)\approx178{,}843^\circ,
\angle H(j100)\approx45^\circ-178{,}843^\circ\approx -133{,}84^\circ.
  1. \omega=1000:
\angle\text{num}\approx\arctan\!\left(\tfrac{1000}{100}\right)=84{,}29^\circ, \quad \angle\text{den}\approx\operatorname{atan2}(2000,\;100-10^{6})\approx179{,}885^\circ,
\angle H(j1000)\approx84{,}29^\circ-179{,}885^\circ\approx -95{,}60^\circ.
Interpretação: a fase começa próxima de 0^\circ em baixas frequências, cai passando por -84^\circ em \omega=10, atinge valores próximos de -160^\circ no meio da transição, e depois, devido ao zero em 100, sobe parcialmente para ficar próxima de -90^\circ em altas frequências.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para traçar no papel — faça assim na prova):
  1. Eixo horizontal logarítmico de \omega (por exemplo marcar décadas: 1,\;10,\;100,\;1000).
  2. Marcar verticalmente a linha de L(\omega)=20\\ \text{dB} (ganho DC).
  3. Marcar os cantos \omega=10 e \omega=100.
  4. Traçar a reta assintótica horizontal em 20\\ \text{dB} até \omega=10.
  5. A partir de \omega=10 desenhar uma reta de inclinação -40\\ \text{dB/dec} até \omega=100; em \omega=100 essa reta assintótica chega a -20\\ \text{dB}.
  6. A partir de \omega=100 alterar a inclinação para -20\\ \text{dB/dec} (somatório do zero) para \omega>100.
  7. Sobrepor o traço real à mão livre, lembrando:
    • Haverá um pico real pronunciado próximo a \omega=10 (valor calculado L(10)\approx34{,}0\\ \text{dB}), acima da reta assintótica do passo 5 — desenhe essa encurvatura.
    • Passe pelos pontos numéricos calculados (1, 10, 100, 1000) para guiar precisão.
  8. Para a fase: desenhe a transição de 0^\circ para -180^\circ centrada em \omega=10 (esta transição ocorre grosso modo entre \omega=1 e \omega=100), e então uma subida parcial de +90^\circ causada pelo zero em \omega=100 (transição para cima entre \omega\approx10 e \omega\approx1000), resultando em fase final aproximada -90^\circ. Use os valores calculados ( \angle H(j1)\approx-0{,}6^\circ, \angle H(j10)\approx-84{,}3^\circ, \angle H(j30)\approx-159{,}0^\circ, \angle H(j100)\approx-133{,}8^\circ, \angle H(j1000)\approx-95{,}6^\circ) para posicionar o traço real.

Resposta

Magnitude (assintótica e pontos-chave):
  • \omega_z=100, \omega_n=10, ganho DC L(0)=20\\ \text{dB}.
  • Assíntotas:
    • \omega<10:\\ L(\omega)=20\\ \text{dB} (0 dB/dec).
    • 10<\omega<100:\\ L(\omega)=20-40\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right) (−40 dB/dec).
    • \omega>100:\\ L(\omega)=-20-20\log_{10}\!\left(\dfrac{\omega}{100}\right) (−20 dB/dec).
  • Pontos numéricos: L(1)\approx20{,}08\\ \text{dB}, L(10)\approx34{,}03\\ \text{dB} (pico devido a \zeta=0{,}1), L(100)\approx-16{,}93\\ \text{dB}, L(1000)\approx-39{,}95\\ \text{dB}.
Fase (assintótica e pontos-chave):
  • Transição de 0^\circ para -180^\circ centrada em \omega=10 (par de polos), e transição do zero em \omega=100 adiciona +90^\circ (resultado final em altas frequências \approx -90^\circ).
  • Valores calculados: \angle H(j1)\approx-0{,}6^\circ, \angle H(j10)\approx-84{,}3^\circ, \angle H(j30)\approx-159{,}0^\circ, \angle H(j100)\approx-133{,}8^\circ, \angle H(j1000)\approx-95{,}6^\circ.
(Instrução de desenho: usar as retas assintóticas da magnitude e da fase descritas acima, sobrepor a curva real passando pelos pontos numéricos e desenhar o pico em \omega\approx10 devido a \zeta=0{,}1.)

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