Apresente o esboço do diagrama de Bode (fase e log-magnitude) para as seguintes funções transferência:
Exemplo 4.26, Lathi:
Exemplo 4.26, Lathi:
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
e pede o esboço do diagrama de Bode: magnitude (log-magnitude em dB) e fase (em graus).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Ganho multiplicativo
no numerador. - Zero real em
(logo frequência de quebra ). - Denominador quadrático
(par de polos complexos).
O que precisamos apresentar no esboço: - As frequências de quebra (corner frequencies).
- As retas assintóticas da magnitude (slope em dB/dec) e sua expressão.
- O comportamento real (picos/resonância) em torno dos polos se for relevante.
- A fase aproximada (assintótica) e alguns valores numéricos-chave para guiar o traço real.
Passo 2
Determinar polos, frequência natural e amortecimento (para entender o comportamento perto do polo complexo).
Reescrevo o denominador na forma padrão . Comparando:
Reescrevo o denominador na forma padrão
Portanto
e
(pouco amortecido). Os polos são
Resumo útil (extraído do enunciado e desses cálculos):
- Zero em
. - Par de polos centrado em
com (esperar ressonância significativa perto de ).
Passo 3
Regras e ferramentas que vamos usar (mini-aula prática, sem pular etapas):
- Magnitude em dB:
. Aqui é o módulo da função quando . - Contribuições assintóticas:
- Um zero simples em
soma para (fase total distribuída em cerca de duas décadas centradas em ). - Um polo simples soma
para (fase total ). - Um par de polos complexos (segunda ordem) dá
acima de (fase total distribuída em duas décadas centradas em ).
- Um zero simples em
- Para esboço assintótico: localizar as frequências de quebra e somar inclinações.
- Para fase assintótica: cada zero/polo contribui com
no total, a transição típica ocorre entre e da frequência de quebra.
Passo 4
Cálculo do ganho DC e dos cantos assintóticos da magnitude:
- Ganho em
:
- Frequências de quebra (extraídas do Passo 2):
(par de polos) e (zero). - Retas assintóticas (em dB):
- Para
: nenhum polo/zero ativo → inclinação , valor . - Para
: o par de polos contribui com , logo a reta é Em particular, na década seguinte ( ) a assíntota dá . - Para
: soma do dos polos com do zero → inclinação final . A expressão conveniente a partir de é
- Para
Essas são as retas assintóticas que se desenham no diagrama de magnitude.
Passo 5
Cálculo de pontos numéricos importantes (ajuda a posicionar o traço real, com contas passo a passo).
A expressão exata do módulo em é
A expressão exata do módulo em
Vou calcular
e
em
.
-
:
-
(ponto crítico, ):
Observação: aqui aparece um pico grande em
devido a
pequeno.
-
(zero ativo):
-
:
Esses pontos numéricos dizem onde o traço real passa:
, pico
,
,
.
Passo 6
Interpretação física e nota sobre ressonância:
- O amortecimento
corresponde a um fator de qualidade . Q alto → ressonância pronunciada. É por isso que em há um pico de magnitude bem acima da reta assintótica que preveria apenas uma queda a partir de . - O traço assintótico corta aproximadamente por
(início da queda) mas a curva real sobe até antes de descer; depois segue a inclinação até perto de , onde o zero reduz a inclinação para .
Passo 7
Esboço da fase (mini-aula e cálculos de pontos-chaves).
- Regra prática (assintótica): o par de polos em
causa transição total de aproximadamente entre e (mais precisamente uma transição centrada em 10, ocorrendo grosso modo de a ). O zero em acrescenta no total, com transição ocorrendo aproximadamente de a . - Assimetrias e valores mais precisos: a fase exata de
é onde trata corretamente o quadrante do denominador. - Calculemos alguns valores numéricos (passo a passo com arctan e correção de quadrante):
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Interpretação: a fase começa próxima de
em baixas frequências, cai passando por
em
, atinge valores próximos de
no meio da transição, e depois, devido ao zero em 100, sobe parcialmente para ficar próxima de
em altas frequências.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para traçar no papel — faça assim na prova):
- Eixo horizontal logarítmico de
(por exemplo marcar décadas: ). - Marcar verticalmente a linha de
(ganho DC). - Marcar os cantos
e . - Traçar a reta assintótica horizontal em
até . - A partir de
desenhar uma reta de inclinação até ; em essa reta assintótica chega a . - A partir de
alterar a inclinação para (somatório do zero) para . - Sobrepor o traço real à mão livre, lembrando:
- Haverá um pico real pronunciado próximo a
(valor calculado ), acima da reta assintótica do passo 5 — desenhe essa encurvatura. - Passe pelos pontos numéricos calculados (1, 10, 100, 1000) para guiar precisão.
- Haverá um pico real pronunciado próximo a
- Para a fase: desenhe a transição de
para centrada em (esta transição ocorre grosso modo entre e ), e então uma subida parcial de causada pelo zero em (transição para cima entre e ), resultando em fase final aproximada . Use os valores calculados ( , , , , ) para posicionar o traço real.
Resposta
Magnitude (assintótica e pontos-chave):
-
, , ganho DC . - Assíntotas:
-
(0 dB/dec). -
(−40 dB/dec). -
(−20 dB/dec).
-
- Pontos numéricos:
, (pico devido a ), , .
Fase (assintótica e pontos-chave):
- Transição de
para centrada em (par de polos), e transição do zero em adiciona (resultado final em altas frequências ). - Valores calculados:
, , , , .
(Instrução de desenho: usar as retas assintóticas da magnitude e da fase descritas acima, sobrepor a curva real passando pelos pontos numéricos e desenhar o pico em
devido a
.)