Um transformador de distribuição monofásico 50 kVA , relação " a " =60, com impedância \mathrm{Z} 1=4,14+\mathrm{j} 5,29(\Omega), impedância \mathbf{Z 2}=\mathbf{7 , 7 5}+\mathbf{j 8 , 6 5}(\mathbf{m} \boldsymbol{\Omega}) e impedância de núcleo \mathbf{Z} \varphi=\mathbf{3 0}+\mathbf{j 5 5}(\mathbf{k} \boldsymbol{\Omega}) está alimentando duas cargas em paralelo por meio de uma rede elétrica com impedância \mathrm{Z}_{\mathrm{RD}}=0,013+\mathrm{j} 0,02(\Omega). As cargas são: \mathrm{C} 1=15 \mathrm{kVA} / \mathrm{FP}=0,80 \mathrm{i} e \mathbf{C 2}=20 \mathrm{kVA} / \mathrm{FP}=0,85 \mathrm{i}, supridas na tensão de 218 / 0^{\circ}(\mathrm{V}). Pede-se:
a) Potências consumidas por carga, total e fator de potência final ( 1,0 );
b) Tensão efetiva E2 e E1 (1,0);
c) Tensão da fonte V1 (1,0);
d) Perdas e rendimento do transformador, e perdas na rede elétrica (1,0).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. (Peguei todos os números do enunciado.)
Dados do transformador e rede:
  • Potência nominal do transformador: 50\\ \mathrm{kVA}.
  • Relação de espiras (fator de transformação): a=60.
  • Impedância do enrolamento 1 (primário): \displaystyle Z_{1}=4{,}14+\mathrm{j}\,5{,}29\;(\Omega).
  • Impedância do enrolamento 2 (secundário), dada em mili-ohms: \displaystyle Z_{2}=7{,}75+\mathrm{j}\,8{,}65\;(\mathrm{m}\Omega)=0{,}00775+\mathrm{j}\,0{,}00865\;(\Omega).
  • Impedância do núcleo (ramo magnetizante), dada em kilo-ohms: \displaystyle Z_{\varphi}=30+\mathrm{j}\,55\;(\mathrm{k}\Omega)=30000+\mathrm{j}\,55000\;(\Omega).
  • Impedância da rede (entre fonte e transformador): \displaystyle Z_{RD}=0{,}013+\mathrm{j}\,0{,}02\;(\Omega).
Dados das cargas (ligadas em paralelo no secundário) fornecidas em tensão 218\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}:
  • \mathrm{C1}:\;S_1=15\\ \mathrm{kVA},\; \mathrm{PF}_1=0{,}80 indutivo.
  • \mathrm{C2}:\;S_2=20\\ \mathrm{kVA},\; \mathrm{PF}_2=0{,}85 indutivo.
O que o enunciado pede:
a) Potências consumidas por cada carga (ativa e reativa), potência total e fator de potência resultante (final).
b) Tensões efetivas \,E_2 (fem no secundário) e \,E_1 (fem no primário).
c) Tensão da fonte \,V_1.
d) Perdas e rendimento do transformador, e perdas na rede elétrica.

Passo 2

Conceitos e fórmulas principais (mini-aula rápida e prática):
  • Potência aparente de uma carga: \,S=P+\mathrm{j}Q\,, onde P é potência ativa (W) e Q reativa (var). Para uma carga com aparente S e fator de potência \mathrm{PF}=\cos\varphi indutivo, tem-se P = S\cdot\mathrm{PF},\qquad Q = S\cdot\sin\varphi = S\cdot\sqrt{1-\mathrm{PF}^2};o sinal de Q é positivo para indutivo.
  • Corrente complexa na carga (no secundário), conhecida a tensão fase a fase \,V_2: usar a relação \,S = V_2 I_2^*\Rightarrow I_2 = \dfrac{S^*}{V_2}. Isso evita confusão de sinais de fase reativa.
  • Queda de tensão em uma impedância: \,V_{\text{queda}} = I\cdot Z.
  • Se a é a razão de transformação (assumida a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{V_1}{V_2}), então as fems e tensões ideais se relacionam por E_1 = a\,E_2 e correntes I_1 = \dfrac{I_2}{a}.
  • Perdas ôhmicas (cobre): P_{\text{cu}} = I^2 R (usar a resistência real de cada enrolamento). Se a resistência do secundário está em \Omega já pode ser usada com I_2; para o primário usar I_1.
  • Perdas no núcleo (ferro): com o modelo série do ramo magnetizante \,Z_{\varphi}=R_\varphi+\mathrm{j}X_\varphi, a potência ativa do núcleo é P_{\text{fe}} = |E_1|^2\cdot\frac{R_\varphi}{R_\varphi^2+X_\varphi^2}.
  • Rendimento (considerando apenas perdas do transformador): \eta = \dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}} + P_{\text{perdas,transf}}}.

Passo 3

Calcular P e Q de cada carga (usar as fórmulas acima). Primeiro converter as potências aparentes para watts/vars:
  • Para \mathrm{C1}:\;S_1=15\\ \mathrm{kVA}, \mathrm{PF}_1=0{,}80\Rightarrow \varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}80)=36{,}87^\circ. P_1 = 15000\cdot 0{,}80 = 12000\\ \mathrm{W},\qquad Q_1 = 15000\cdot\sin(36{,}87^\circ)=15000\cdot 0{,}6 = 9000\\ \mathrm{var}.
  • Para \mathrm{C2}:\;S_2=20\\ \mathrm{kVA}, \mathrm{PF}_2=0{,}85\Rightarrow \varphi_2=\operatorname{arccos}(0{,}85)=31{,}79^\circ. P_2 = 20000\cdot 0{,}85 = 17000\\ \mathrm{W},\qquad Q_2 = 20000\cdot\sin(31{,}79^\circ)=20000\cdot 0{,}5268\approx 10536\\ \mathrm{var}.

Passo 4

Correntes de cada carga no secundário (usando \,I=\dfrac{S^*}{V}). A tensão de alimentação do secundário dada é \,V_2=218\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Escrever S_1 = 12000 - \mathrm{j}\,9000\\ \mathrm{VA}. Então I_{C1}=\dfrac{S_1^*}{V_2}=\dfrac{12000+\mathrm{j}\,9000}{218\angle 0^\circ}.Calculemos magnitude e ângulo: |S_1|=15000\\ \mathrm{VA}, logo |I_{C1}|=\dfrac{15000}{218}\approx 68{,}81\\ \mathrm{A} com ângulo +36{,}87^\circ. Assim I_{C1}=68{,}81\angle 36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Para \mathrm{C2}:\;S_2=17000-\mathrm{j}\,10536\\ \mathrm{VA}. Então I_{C2}=\dfrac{S_2^*}{V_2}=\dfrac{17000+\mathrm{j}\,10536}{218}\Rightarrow |I_{C2}|=\dfrac{20000}{218}\approx 91{,}74\\ \mathrm{A}com ângulo +31{,}79^\circ: I_{C2}=91{,}74\angle 31{,}79^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Corrente total no secundário e potência total:
  • Soma fasorial (retangular) das correntes: I_{C1} = 68{,}81(\cos36{,}87^\circ + \mathrm{j}\sin36{,}87^\circ)=55{,}046+\mathrm{j}\,41{,}285\\ \mathrm{A},
I_{C2} = 91{,}74(\cos31{,}79^\circ + \mathrm{j}\sin31{,}79^\circ)=78{,}982+\mathrm{j}\,48{,}354\\ \mathrm{A}.
  • Soma: I_2 = I_{C1}+I_{C2} = 134{,}028+\mathrm{j}\,89{,}639\\ \mathrm{A}.Módulo e ângulo: |I_2|=\sqrt{134{,}028^2+89{,}639^2}\approx 161{,}23\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_2\approx 33{,}69^\circ.
  • Potências totais (confirmação): P_{\text{tot}}=P_1+P_2=12000+17000=29000\\ \mathrm{W},
Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2=9000+10536=19536\\ \mathrm{var}.
|S_{\text{tot}}|=\sqrt{29000^2+19536^2}\approx 34965\\ \mathrm{VA}.
Fator de potência resultante:
\mathrm{PF}_{\text{tot}}=\dfrac{P_{\text{tot}}}{|S_{\text{tot}}|}=\dfrac{29000}{34965}\approx 0{,}829\\ \text{(indutivo)}.

Passo 6

Calcular a fem efetiva no secundário E_2. Modelo: tensão na carga V_2 é a tensão terminal do secundário; há uma queda ôhmica/reativa na impedância do enrolamento secundário Z_2. Assim
E_2 = V_2 + I_2\cdot Z_2.
  • Já temos V_2=218\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}, I_2=134{,}028+\mathrm{j}\,89{,}639\\ \mathrm{A} e Z_2=0{,}00775+\mathrm{j}\,0{,}00865\\ \Omega.
  • Calcular I_2\cdot Z_2 (retangular): I_2Z_2 = (134{,}028+\mathrm{j}\,89{,}639)(0{,}00775+\mathrm{j}\,0{,}00865)primeiro o produto real e imaginário: \Re\{I_2Z_2\}=134{,}028\cdot 0{,}00775 - 89{,}639\cdot 0{,}00865 \approx 0{,}263\\ \mathrm{V},
\Im\{I_2Z_2\}=134{,}028\cdot 0{,}00865 + 89{,}639\cdot 0{,}00775 \approx 1{,}854\\ \mathrm{V}.
  • Logo E_2 = 218 + (0{,}263+\mathrm{j}\,1{,}854) = 218{,}263+\mathrm{j}\,1{,}854\\ \mathrm{V}.Módulo e ângulo: |E_2|\approx 218{,}27\\ \mathrm{V},\qquad \angle E_2\approx 0{,}487^\circ.

Passo 7

Passar E_2 para o primário e calcular corrente primária I_1:
  • Como a=60, E_1 = a\cdot E_2 = 60\cdot (218{,}263+\mathrm{j}\,1{,}854) \approx 13095{,}78+\mathrm{j}\,111{,}24\\ \mathrm{V}.Módulo e ângulo: |E_1|\approx 13096{,}2\\ \mathrm{V},\qquad \angle E_1\approx 0{,}487^\circ.
  • Corrente primária (relacionada à corrente do secundário): I_1 = \dfrac{I_2}{a} = \dfrac{134{,}028+\mathrm{j}\,89{,}639}{60} \approx 2{,}2338+\mathrm{j}\,1{,}4940\\ \mathrm{A}.
|I_1|\approx 2{,}687\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_1\approx 33{,}69^\circ.

Passo 8

Calcular a tensão da fonte V_1. Modelo de circuito visto da fonte: fonte \,V_1 \to impedância da rede Z_{RD} \to enrolamento primário com impedância Z_1 \to fem E_1. Logo
V_1 = E_1 + I_1\cdot Z_1 + I_1\cdot Z_{RD}.
  • Já temos E_1 e I_1. Calcular as quedas: I_1Z_1=(2{,}2338+\mathrm{j}\,1{,}4940)(4{,}14+\mathrm{j}\,5{,}29)\approx 1{,}353+\mathrm{j}\,17{,}996\\ \mathrm{V}.
I_1Z_{RD}=(2{,}2338+\mathrm{j}\,1{,}4940)(0{,}013+\mathrm{j}\,0{,}02)\approx -0{,}00084+\mathrm{j}\,0{,}0641\\ \mathrm{V}.
  • Soma das quedas: \approx 1{,}351+\mathrm{j}\,18{,}060\\ \mathrm{V}.
  • Então V_1 = (13095{,}78+\mathrm{j}\,111{,}24) + (1{,}351+\mathrm{j}\,18{,}060)\approx 13097{,}13+\mathrm{j}\,129{,}30\\ \mathrm{V}.Módulo e ângulo: |V_1|\approx 13098{,}2\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_1\approx 0{,}567^\circ.

Passo 9

Calcular perdas no transformador (cobre e ferro) e perdas na rede:
  • Perdas no cobre (resistivas) do primário: usar R_1=\Re\{Z_1\}=4{,}14\\ \Omega e I_1: P_{R1}=|I_1|^2 R_1 = (2{,}687)^2\cdot 4{,}14 \approx 29{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Perdas no cobre do secundário: R_2=\Re\{Z_2\}=0{,}00775\\ \Omega e I_2: P_{R2}=|I_2|^2 R_2 = (161{,}23)^2\cdot 0{,}00775 \approx 201{,}4\\ \mathrm{W}.
  • Perdas no cobre totais: P_{\text{cu}} = P_{R1}+P_{R2} \approx 29{,}9 + 201{,}4 \approx 231{,}3\\ \mathrm{W}.
  • Perdas no núcleo (ferro) usando Z_{\varphi}=R_\varphi+\mathrm{j}X_\varphi com R_\varphi=30000\\ \Omega, X_\varphi=55000\\ \Omega e tensão E_1: P_{\text{fe}} = |E_1|^2\cdot\dfrac{R_\varphi}{R_\varphi^2+X_\varphi^2} \approx (13096{,}2)^2\cdot\dfrac{30000}{30000^2+55000^2}.Calculando: P_{\text{fe}}\approx 1311{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Perdas totais do transformador: P_{\text{perdas,transf}} = P_{\text{cu}} + P_{\text{fe}} \approx 231{,}3 + 1311{,}9 \approx 1543{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Rendimento do transformador (considerando P_{\text{out}}=P_{\text{tot}}=29000\\ \mathrm{W}): \eta = \dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{perdas,transf}}} = \dfrac{29000}{29000+1543{,}2}\approx 0{,}9495\approx 94{,}95\%.
  • Perdas na rede elétrica (resistiva de Z_{RD}): R_{RD}=0{,}013\\ \Omega, com corrente I_1: P_{RD} = |I_1|^2 R_{RD} = (2{,}687)^2\cdot 0{,}013 \approx 0{,}094\\ \mathrm{W}.(muito pequena, desprezível na prática.)

Passo 10

Resumo numérico final (preparando a resposta concisa):
  • Potências de cada carga: P_1=12000\\ \mathrm{W},\\ Q_1=9000\\ \mathrm{var};\; P_2=17000\\ \mathrm{W},\\ Q_2\approx10536\\ \mathrm{var}.
  • Total: P_{\text{tot}}=29000\\ \mathrm{W},\\ Q_{\text{tot}}\approx19536\\ \mathrm{var},\\ |S_{\text{tot}}|\approx34965\\ \mathrm{VA}. \mathrm{PF}_{\text{tot}}\approx 0{,}829 (indutivo).
  • Tensões/fems: E_2 \approx 218{,}27\angle 0{,}487^\circ\\ \mathrm{V},\qquad E_1 \approx 13096{,}2\angle 0{,}487^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Tensão da fonte: V_1 \approx 13098{,}2\angle 0{,}567^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Perdas: P_{R1}\approx 29{,}9\\ \mathrm{W},\quad P_{R2}\approx 201{,}4\\ \mathrm{W},\quad P_{\text{cu}}\approx 231{,}3\\ \mathrm{W},
P_{\text{fe}}\approx 1311{,}9\\ \mathrm{W},\quad P_{\text{perdas,transf}}\approx 1543{,}2\\ \mathrm{W},
P_{RD}\approx 0{,}094\\ \mathrm{W}.
  • Rendimento do transformador: \eta\approx 94{,}95\%.

Resposta

(a) P_1=12000\\ \mathrm{W},\\ Q_1=9000\\ \mathrm{var}.
P_2=17000\\ \mathrm{W},\\ Q_2\approx10536\\ \mathrm{var}.
P_{\text{tot}}=29000\\ \mathrm{W},\\ Q_{\text{tot}}\approx19536\\ \mathrm{var},\\ |S_{\text{tot}}|\approx34965\\ \mathrm{VA}.
\mathrm{PF}_{\text{final}}\approx 0{,}829 (indutivo).
(b) E_2\approx 218{,}27\angle 0{,}487^\circ\\ \mathrm{V}.
E_1\approx 13096{,}2\angle 0{,}487^\circ\\ \mathrm{V}.
(c) V_1\approx 13098{,}2\angle 0{,}567^\circ\\ \mathrm{V}.
(d) Perdas do transformador: P_{R1}\approx 29{,}9\\ \mathrm{W},\\ P_{R2}\approx 201{,}4\\ \mathrm{W},\\ P_{\text{cu}}\approx 231{,}3\\ \mathrm{W},\\ P_{\text{fe}}\approx 1311{,}9\\ \mathrm{W},\\ P_{\text{perdas,transf}}\approx 1543{,}2\\ \mathrm{W}.
Rendimento do transformador: \eta\approx 94{,}95\%.
Perdas na rede elétrica (em Z_{RD}): P_{RD}\approx 0{,}094\\ \mathrm{W}.

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