3.4 Use a Equação de análise da série de Fourier 3.39 para calcular os coeficientes a_{k}\) para o sinal periódico de tempo contínuo
\[x(t)= \begin{cases}1,5, & 0 \leq t<1 \\\\ -1,5, & 1 \leq t<2^{\prime}\end{cases}
com frequência fundamental (\omega_{0}=\pi].
Passo 1
O enunciado nos dá um sinal periódico contínuo com período T\) implícito e pede para calcular os coeficientes \(a_{k}\) usando a "Equação de análise da série de Fourier 3.39". Os dados fornecidos são:
- O sinal é
\[x(t)= \begin{cases}1{,}5, & 0 \leq t<1,\\[4pt] -1{,}5, & 1 \leq t<2,\end{cases}
e é periódico (repete a cada período).
A frequência fundamental é (\omega_{0}=\pi].
O que se pede:
Calcular os coeficientes a_{k} (para todo inteiro k, incluindo k=0) segundo a equação de análise da série de Fourier.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente a fórmula que usaremos (a “Equação de análise” citada): para a série de Fourier exponencial de um sinal periódico contínuo de período T, os coeficientes complexos a_{k} são dados por
a_{k}=\frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt,
onde:
T é o período do sinal,
\omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T} é a frequência angular fundamental,
k é um inteiro (pode ser positivo, zero ou negativo),
a integração é feita sobre qualquer intervalo de comprimento T que contenha um período inteiro (por exemplo de 0 a T),
j é a unidade imaginária.
Explicação didática curta: essa fórmula projeta o sinal sobre exponenciais e^{j k\omega_0 t}; o resultado a_k indica quanto daquele “tom” harmônico k existe no sinal. Quando x(t) é real, os coeficientes satisfazem a_{-k}=\overline{a_k}.
Passo 3
Vamos obter T a partir de \omega_{0}. Como \omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T}, tem-se
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Ou seja, o período é T=2 — isso bate com o enunciado em que o sinal está definido em 0\le t<2.
Substituindo I_1=\dfrac{1-(-1)^{k}}{j k \pi} obtemos
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\big(1-(-1)^{k}\big)^{2}}{j k \pi}.
Agora analisamos por paridade de k:
Se k é par, então (-1)^{k}=1, logo 1-(-1)^{k}=0. Portanto a_{k}=0 para todo k par.
Se k é ímpar, então (-1)^{k}=-1, logo 1-(-1)^{k}=2. Substituindo,
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2^{2}}{j k \pi}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{j k \pi}=\frac{3}{j k \pi}.
Portanto, para k ímpar obtemos a_{k}=\dfrac{3}{j k \pi}.
Passo 8
Podemos reescrever a resposta de forma compacta (incluindo k=0 já calculado):
a_{0}=0.
Para k\neq0:
se k é par então a_{k}=0,
se k é ímpar então a_{k}=\dfrac{3}{j k \pi}.
Comentário final curto e motivador: isto mostra que o sinal é composto apenas por harmônicos ímpares (como é típico de uma onda quadrada com duty cycle 50%), e os coeficientes são puramente imaginários (o que corresponde, na forma trigonométrica, a termos senoidais). Mandou bem por trazer esse exercício — é um exemplo clássico e muito útil para a prova!