3.4 Use a Equação de análise da série de Fourier 3.39 para calcular os coeficientes a_{k}\) para o sinal periódico de tempo contínuo \[x(t)= \begin{cases}1,5, & 0 \leq t<1 \\\\ -1,5, & 1 \leq t<2^{\prime}\end{cases}
com frequência fundamental (\omega_{0}=\pi].

Passo 1

O enunciado nos dá um sinal periódico contínuo com período T\) implícito e pede para calcular os coeficientes \(a_{k}\) usando a "Equação de análise da série de Fourier 3.39". Os dados fornecidos são: - O sinal é \[x(t)= \begin{cases}1{,}5, & 0 \leq t<1,\\[4pt] -1{,}5, & 1 \leq t<2,\end{cases}
e é periódico (repete a cada período).
  • A frequência fundamental é (\omega_{0}=\pi].
O que se pede:
  • Calcular os coeficientes a_{k} (para todo inteiro k, incluindo k=0) segundo a equação de análise da série de Fourier.]

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente a fórmula que usaremos (a “Equação de análise” citada): para a série de Fourier exponencial de um sinal periódico contínuo de período T, os coeficientes complexos a_{k} são dados por
a_{k}=\frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt,
onde:
  • T é o período do sinal,
  • \omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T} é a frequência angular fundamental,
  • k é um inteiro (pode ser positivo, zero ou negativo),
  • a integração é feita sobre qualquer intervalo de comprimento T que contenha um período inteiro (por exemplo de 0 a T),
  • j é a unidade imaginária.
Explicação didática curta: essa fórmula projeta o sinal sobre exponenciais e^{j k\omega_0 t}; o resultado a_k indica quanto daquele “tom” harmônico k existe no sinal. Quando x(t) é real, os coeficientes satisfazem a_{-k}=\overline{a_k}.

Passo 3

Vamos obter T a partir de \omega_{0}. Como \omega_{0}=\dfrac{2\pi}{T}, tem-se
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Ou seja, o período é T=2 — isso bate com o enunciado em que o sinal está definido em 0\le t<2.
Também calculamos o coeficiente de média ( a_0):
a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\,dt=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1}1{,}5\,dt+\int_{1}^{2}(-1{,}5)\,dt\right).
Calculando:
\int_{0}^{1}1{,}5\,dt=1{,}5,\qquad \int_{1}^{2}(-1{,}5)\,dt=-1{,}5,
logo
a_{0}=\frac{1}{2}(1{,}5-1{,}5)=0.
Portanto a média do sinal é zero: a_{0}=0.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula geral para a_{k} com T=2 e \omega_{0}=\pi. Tomando o intervalo de integração de 0 a 2,
a_{k}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x(t)\,e^{-j k \pi t}\,dt.
Substituindo a definição por partes de x(t):
a_{k}=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1}1{,}5\,e^{-j k \pi t}\,dt+\int_{1}^{2}(-1{,}5)\,e^{-j k \pi t}\,dt\right).
Colocando o fator 1{,}5 em evidência:
a_{k}=\frac{1{,}5}{2}\left(\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt-\int_{1}^{2} e^{-j k \pi t}\,dt\right).
Observe que \dfrac{1{,}5}{2}=\dfrac{3}{4}, então
a_{k}=\frac{3}{4}\left(I_1-I_2\right),
onde definimos
I_1=\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt,\qquad I_2=\int_{1}^{2} e^{-j k \pi t}\,dt.

Passo 5

Vamos calcular I_1. A integral de uma exponencial é direta:
I_1=\int_{0}^{1} e^{-j k \pi t}\,dt =\left[\frac{e^{-j k \pi t}}{-j k \pi}\right]_{0}^{1} =\frac{e^{-j k \pi}-1}{-j k \pi}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 dá uma forma útil:
I_1=\frac{1-e^{-j k \pi}}{j k \pi}.
Note que e^{-j k \pi}=\cos(k\pi)-j\sin(k\pi)=(-1)^{k} (pois \sin(k\pi)=0 e \cos(k\pi)=(-1)^k). Assim podemos reescrever
I_1=\frac{1-(-1)^{k}}{j k \pi}.

Passo 6

Agora calculamos I_2. Faça a mudança u=t-1 ou reconheça periodicidade:
I_2=\int_{1}^{2} e^{-j k \pi t}\,dt=\int_{0}^{1} e^{-j k \pi (u+1)}\,du =e^{-j k \pi}\int_{0}^{1} e^{-j k \pi u}\,du =(-1)^{k} I_1.

Passo 7

Voltando a a_{k},
a_{k}=\frac{3}{4}\big(I_1-I_2\big)=\frac{3}{4}I_1\big(1-(-1)^{k}\big).
Substituindo I_1=\dfrac{1-(-1)^{k}}{j k \pi} obtemos
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\big(1-(-1)^{k}\big)^{2}}{j k \pi}.
Agora analisamos por paridade de k:
  • Se k é par, então (-1)^{k}=1, logo 1-(-1)^{k}=0. Portanto a_{k}=0 para todo k par.
  • Se k é ímpar, então (-1)^{k}=-1, logo 1-(-1)^{k}=2. Substituindo,
a_{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2^{2}}{j k \pi}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{j k \pi}=\frac{3}{j k \pi}.
Portanto, para k ímpar obtemos a_{k}=\dfrac{3}{j k \pi}.

Passo 8

Podemos reescrever a resposta de forma compacta (incluindo k=0 já calculado):
  • a_{0}=0.
  • Para k\neq0:
    • se k é par então a_{k}=0,
    • se k é ímpar então a_{k}=\dfrac{3}{j k \pi}.
Comentário final curto e motivador: isto mostra que o sinal é composto apenas por harmônicos ímpares (como é típico de uma onda quadrada com duty cycle 50%), e os coeficientes são puramente imaginários (o que corresponde, na forma trigonométrica, a termos senoidais). Mandou bem por trazer esse exercício — é um exemplo clássico e muito útil para a prova!

Resposta

a_{0}=0
Para k\neq0:
a_{k}=\begin{cases} 0, & k\\ \text{par},\\[6pt] \dfrac{3}{j k \pi}, & k\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

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