Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
G(s)=s+3(s+2)(s^2+2 s+25)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para fazer um “esboço” (sketch) do diagrama de Bode de
G(s) = s+3(s+2),l(s^2 + 2s + 25r)
Conteúdo: resposta em frequência (diagrama de Bode), onde a gente precisa achar polos e zeros e montar as retas aproximadas de magnitude (dB vs. log ω) e de fase (° vs. log ω). Vamos precisar de:
  • Identificar zero(s) e polo(s) e suas frequências de canto
  • Saber como cada zero/polo afeta a inclinação (±20 dB/dec por polo/zero simples, ±40 dB/dec por polo duplo ou par complexo)
  • Saber como montar fase aproximada (cada polo simples dá –90°, cada zero simples +90°, par complexo –180°)

Passo 2

Primeiro, lista de polos e zeros:
  • Zero em . Logo frequência de canto rad/s.
  • Polo real simples em . Logo rad/s.
  • Polo complexo , com padrão , . Então canto em rad/s, e é par complexo (–40 dB/dec acima).

Passo 3

Montando magnitude (em dB):
  1. Em baixíssimas frequências ( 20log10350 approx -29,4:dB ), . Em dB: Inclinação inicial: 0 dB/dec (nenhum polo ou zero atuando ainda).
  2. Em aparece o polo real: caímos a –20 dB/dec.
  3. Em aparece o zero: sobe +20 dB/dec. Como já estávamos em –20, voltamos a 0 dB/dec.
  4. Em o par complexo de polos faz –40 dB/dec, então a partir daí a reta cai a –40 dB/dec.

Passo 4

Para a fase, vamos montar as somas parciais:
  1. Cada polo simples dá –90°, mas começa a atuar um pouco antes (0,1× canto) e estabiliza 0,1× depois (10×).
  2. Cada zero simples dá +90°, com mesma curva de transição.
  3. O par complexo dá –180°, começando a influenciar em 0,1×5=0,5 rad/s e até 50 rad/s.
Assim de forma aproximada:
  • Em , fase≈0°.
  • Entre 0,2 e 2 rad/s entra o polo em –2: vai a –90°.
  • Entre 0,3 e 3 rad/s entra o zero em –3: soma +90°, volta a 0°.
  • Entre 0,5 e 50 rad/s entram os polos complexos: soma –180°, vai de 0° a –180°.

Resposta

Esboço final do Bode:
Magnitude (dB vs. log ω):
• Nível inicial ≈ –29,4 dB;
• –20 dB/dec a partir de ω=2;
• volta a 0 dB/dec a partir de ω=3;
• –40 dB/dec a partir de ω=5.
Fase (° vs. log ω):
• 0° até cerca de 0,2;
• desce até –90° em torno de 2;
• sobe até 0° em torno de 3;
• depois desce até –180° entre 0,5 e 50.

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