Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
G(s)=10s^2+2 s+9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente desenhar (esboçar) o diagrama de Bode de
G(s)=10s^2+2s+9,
Isso é matéria de análise de sistemas no domínio da frequência (resposta em frequência). Vamos precisar:
1) Reescrever o denominador como um sistema de 2ª ordem padrão, identificando a frequência natural omegan e o fator de amortecimento zeta.
2) Encontrar a expressão de magnitude |G(jomega)| e fase ang<= G(jomega).
3) Ver como isso se comporta em baixas, médias e altas frequências pra traçar a reta de aproximação no Bode.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de 2ª ordem:
s^2+2s+9 = omegan^2[(somegan)^2+2zetasomegan+1]
Comparando com s^2+2s+9:
- omegan^2 = 9 implies omegan=3,rad/s
- 2zetaomegan = 2 implies zeta = 22cdot3 = 13approx0,33
Então podemos escrever
$$G(s)=\frac{10}{\omega_n2\big[(s/\omega_n)2+2\zeta(s/\omega_n)+1\big]}
=\frac{10/9}{(s/3)^2 + \tfrac{2}{3}(s/3) +1},. $$

Passo 3

Magnitude:
$$G(j\omega)=\frac{10}{-(\omega^2)+j2\omega+9},\quad
|G(j\omega)|=\frac{10}{\sqrt{(9-\omega2)2+(2\omega)^2}},. $$
No Bode magnitude em dB a gente usa:
G(jomega)=10-(omega^2)+j2omega+9,, |G(jomega)|=10raiz(9-omega^2)^2+(2omega)^2,
– Para 20log10|G(jomega)|: omegall3, então
9-omega^2approx9
(ganho quase constante).
– Em torno de |G|approx109implies 20log10(10/9)approx0,9 dB (quebrada de 2ª ordem): a inclinação passa a cair a omega=3dB/década. Além disso, como -40,, rola um pico de ressonância em
zeta<0,707M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\approx1{,}59\quad\Rightarrow20\log_{10}(1{,}59)\approx4{,}0dB.$$
– Para omegar=omeganraiz1-2zeta^2=3raiz1-tfrac29approx2,65,$rad/s com a: declive estabilizado em dB/década e o ganho continua caindo.

Passo 4

Fase:
ang<= G(jomega) = -arctan!(2omega9-omega^2),
No Bode:
– Para omegall3: 9-omega^2>0 e 2omegaapprox0;Rightarrowang<= Gapprox0°.
– Em omega=3: 9-omega^2=0;Rightarrowang<= G=-90°.
– Para omegagg3: 9-omega^2<0 e o argumento tende a -180°.

Resposta

Esboço do diagrama de Bode de G(s)=10/(s^2+2s+9):
  1. Magnitude (dB):
  • Nível baixo ( omegall3): ~0,9 dB (plano).
  • Pico de ressonância de ~4 dB em omegaapprox2,65,rad/s.
  • Após omega=3,rad/s a reta cai a –40 dB/década.
  1. Fase:
  • Começa em 0° (baixo ω), passa em –90° em 3 rad/s, e vai até –180° em altas frequências.

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