Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente desenhar (esboçar) o diagrama de Bode de
Isso é matéria de análise de sistemas no domínio da frequência (resposta em frequência). Vamos precisar:
1) Reescrever o denominador como um sistema de 2ª ordem padrão, identificando a frequência natural
2) Encontrar a expressão de magnitude
3) Ver como isso se comporta em baixas, médias e altas frequências pra traçar a reta de aproximação no Bode.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão de 2ª ordem:
Comparando com
-
-
Então podemos escrever
$$G(s)=\frac{10}{\omega_n2\big[(s/\omega_n)2+2\zeta(s/\omega_n)+1\big]}
=\frac{10/9}{(s/3)^2 + \tfrac{2}{3}(s/3) +1},. $$
Passo 3
Magnitude:
$$G(j\omega)=\frac{10}{-(\omega^2)+j2\omega+9},\quad
|G(j\omega)|=\frac{10}{\sqrt{(9-\omega2)2+(2\omega)^2}},. $$
No Bode magnitude em dB a gente usa:
– Para
:
, então
(ganho quase constante).
– Em torno de
(quebrada de 2ª ordem): a inclinação passa a cair a
dB/década. Além disso, como
, rola um pico de ressonância em
– Para
: declive estabilizado em
dB/década e o ganho continua caindo.
Passo 4
Fase:
No Bode:
– Para
– Em
– Para
Resposta
Esboço do diagrama de Bode de
:
- Magnitude (dB):
- Nível baixo (
): ~0,9 dB (plano). - Pico de ressonância de ~4 dB em
rad/s. - Após
rad/s a reta cai a –40 dB/década.
- Fase:
- Começa em 0° (baixo ω), passa em –90° em 3 rad/s, e vai até –180° em altas frequências.