Apresente um esboço do diagrama de Bode das funções apresentadas abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede um esboço do diagrama de Bode (módulo e fase) da função
Conteúdo: resposta em frequência, diagramas de Bode, polos e zeros, aproximação assintótica.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Identificar zeros e polos (pra achar frequências de canto).
- Montar as retas assintóticas de módulo (em dB) e de fase (em graus).
- Ajustar as retas para “casar” com o valor exato nos cantos.
A partir do
Passo 2
Passo 3
Identifica zeros e polos:
- Zero em
→ frequência de canto rad/s, contribuição ,dB/déc. - Polo em
→ → rad/s, contribuição ,dB/déc. - Polo em
→ → rad/s, mais ,dB/déc.
Resumo dos “kinks” no módulo:
• em, +20 dB/déc (zero)
• em, –20–20=–40 dB/déc (dois polos)
Passo 4
Montagem das retas assintóticas de módulo:
- Para
: não há contribuição de pente → 0 dB/déc (reta horizontal). - De
a : slope = +20 dB/déc. - Acima de
: slope = +20–40=–20 dB/déc.
Agora alinhar as retas ao valor exato nos cantos. Calcula
num canto (mais comum em
):
Em dB:
Logo, fazemos a reta assintótica de –20…0…+20…–20 dB/déc passar por –17 dB em .
Logo, fazemos a reta assintótica de –20…0…+20…–20 dB/déc passar por –17 dB em
Pontos de referência:
- Em
: a mesma reta de pente 0, valor = –17 dB (mesmo dB/déc). - Em
: sobe +20 dB, fica em ,dB. - Em
: a partir de , pente –20, cai para ,dB.
Passo 5
Fase assintótica:
- Zero em 1 rad/s → fase sobe de 0° a +90° em aproximadamente 0.1…10 rad/s (ponto médio em 1 rad/s).
- Cada polo em 10 rad/s → cada um faz fase cair de 0° a –90° entre 1…100 rad/s (ponto médio em 10).
Total de polos = 2 → total –180°.
Esquema de fase:
• Para: todas as contribuições ≈0° → fase≈0°.
• Entre 0.1 e 10: o zero vai subindo até +90°, enquanto os polos estão chegando pra –180° a partir de 1 e 10.
• Para: fase total → +90° – 180° = –90°.
No esboço a curva começa em 0°, sobe pra +90° perto de
, depois cai em dois degraus (–90° cada) perto de
, e se estabiliza em –90°.
Resposta
Esboço assintótico final:
Módulo (dB) vs
:
- 0.1…1 rad/s: reta horizontal em –17 dB.
- 1…10 rad/s: reta de +20 dB/déc, passando em –17 dB em ω=1 e +3 dB em ω=10.
-
10 rad/s: reta de –20 dB/déc, passando em +3 dB em ω=10 e –17 dB em ω=100.
Fase (°) vs
:
- <0.1 rad/s: 0°.
- de 0.1 a 1: sobe até +90° (zero).
- de 1 a 10: mantém perto de +90°.
- de 1 a 100: cai 2×90° (polos) e estabiliza em –90° para
.
Esse é o esqueleto do Bode de
.