Apresente o gráfico dos seguintes sinais discretos.
\Delta(k)= \begin{cases}1 & \text { se } k=0 \\\\ 0 & \text { se } k \neq 0\end{cases}
y_{2}(k)=3 \Delta(k+1)-\Delta(k)+6 \Delta(k-1)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sinal discreto impulso \Delta(k) e em seguida o sinal
y_{2}(k)=3\,\Delta(k+1)\;-\;\Delta(k)\;+\;6\,\Delta(k-1)
Este exercício envolve o conceito de deslocamento e escala de um impulso discreto.

Passo 2

Lembrando que o impulso discreto \Delta(k) vale 1 somente em k=0 e zero em todo outro inteiro. Logo, o seu gráfico é um “pino” de altura 1 em k=0 e nada nos demais k.

Passo 3

Para y_{2}(k) usamos propriedades de deslocamento do impulso:
  • 3\,\Delta(k+1) é um pino de altura 3 em k=-1.
  • -\,\Delta(k) é um pino de altura -1 em k=0.
  • 6\,\Delta(k-1) é um pino de altura 6 em k=1.
Em todo outro k, cada termo é zero, logo y_{2}(k)=0.

Passo 4

Podemos organizar os valores em forma de tabela (e interpretar como gráfico a partir daí):
\begin{array}{c|ccccc} k & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\\ \hline \Delta(k) & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ y_{2}(k) & 0 & 3 & -1 & 6 & 0 \end{array}

Resposta

O gráfico de \Delta(k) é um único ponto de amplitude 1 em k=0.
O gráfico de y_{2}(k) consiste em três impulsos discretos:
  • em k=-1, amplitude 3;
  • em k=0, amplitude -1;
  • em k=1, amplitude 6;
  • para todo outro k, y_{2}(k)=0.

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