Apresente a hipótese de De Broglie e deduza a expressão para o comprimento de onda associado a uma partícula material. Explique como essa hipótese altera a concepção de órbitas eletrônicas no átomo.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar a hipótese de De Broglie (dualidade onda-partícula para partículas materiais), deduzir a expressão do comprimento de onda lambda associado a uma partícula e, em seguida, explicar como esse conceito modifica a ideia de órbitas eletrônicas no átomo. Vamos usar a analogia com fótons ( E=h,f, p=h/lambda) e aplicá-la a partículas com massa.

Passo 2

De Broglie postulou que, assim como o fóton tem energia E e momento p relacionados a ondas por
E = h,f
p = hlambda,,
uma partícula material de massa m e velocidade v também teria associada uma onda de frequência f e comprimento de onda lambda.

Passo 3

Para ligar a onda à partícula, lembramos que a constante de Planck reduzida é hbar = h/(2pi) e que o número de onda k de uma onda é
k = 2pilambda,
Na mecânica ondulatória a relação entre momento e número de onda é
p = hbar,k
Substituindo k = 2pi/lambda obtemos
p = hbar,2pilambda = hlambda Longrightarrow lambda = hp,

Passo 4

No átomo, antes de De Broglie, imaginava-se elétrons em órbitas circulares contínuas (modelo de Rutherford), mas não havia explicação para órbitas estáveis. Com ondas de matéria, o elétron só forma uma onda estacionária ao redor do núcleo se sua circunferência contiver um número inteiro de comprimentos de onda:
2pi r = n,lambda, ninN
Como lambda = h/p e para órbita circular p=mv e L=m v r, isso leva a
2pi r = n,hm v Longrightarrow m v r = n,h2pi = nhbar,
ou seja, quantização do momento angular. Só essas órbitas discretas são permitidas e estáveis, explicando os níveis de energia do átomo.

Resposta

A hipótese de De Broglie afirma que toda partícula de momento p tem associada uma onda de comprimento
lambda = hp
No átomo, isso faz com que o elétron se comporte como uma onda estacionária em órbitas cujo comprimento de contorno satisfaz
2pi r = n,lambda,
o que impõe a quantização do momento angular ( L=nhbar) e explica por que só certas órbitas—e, portanto, certos níveis de energia—são possíveis.

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