Quando nos aproximamos 2 m de uma fonte sonora pontual, a intensidade do som aumenta quantas vezes?

Passo 1

Enunciado (reformulado com clareza): “Quando nos aproximamos 2 m de uma fonte sonora pontual, a intensidade do som aumenta quantas vezes?”
Informações dadas explícitas: a posição final fica a 2\\ \mathrm{m} da fonte.
Informações que não foram dadas no enunciado: a distância inicial (vou chamar de r_1). Como não posso perguntar nada, vou tratar o problema de forma geral (em função de r_1) e depois mostrar exemplos numéricos típicos que aparecem em provas.

Passo 2

Conceito físico essencial — lei do inverso do quadrado (explicação didática): para uma fonte sonora pontual que emite potência sonora P uniformemente em todas as direções, a onda se espalha como uma esfera. A potência P atravessa a superfície da esfera de raio r cuja área é 4\pi r^{2}. A intensidade sonora I (potência por área) é definida como potência dividida pela área que recebe essa potência. Logo usamos a fórmula
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • I(r) é a intensidade sonora a uma distância r da fonte (unidades: \mathrm{W/m^{2}}),
  • P é a potência sonora total emitida pela fonte (unidades: \mathrm{W}),
  • 4\pi r^{2} é a área da esfera de raio r.
Em linguagem simples: se você fica duas vezes mais perto, a mesma potência fica concentrada em uma área quatro vezes menor, então a intensidade aumenta quatro vezes. Esse é o coração do raciocínio.

Passo 3

Razão entre intensidades em duas distâncias (dedução passo a passo): suponha que estávamos inicialmente a uma distância r_1 da fonte e passamos a uma distância r_2. A intensidade inicial é I(r_1)=\dfrac{P}{4\pi r_1^{2}} e a intensidade final é I(r_2)=\dfrac{P}{4\pi r_2^{2}}. A razão (quanto a intensidade aumenta multiplicativamente) é
\frac{I(r_2)}{I(r_1)}=\frac{\dfrac{P}{4\pi r_2^{2}}}{\dfrac{P}{4\pi r_1^{2}}}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}.
Note que P e 4\pi cancelam — por isso a razão depende só das distâncias e não da potência absoluta.

Passo 4

Aplicando ao caso em que a distância final é 2\\ \mathrm{m}: substituímos r_2=2\\ \mathrm{m} na fórmula geral da razão. Assim a intensidade aumenta em
\frac{I(2\\ \mathrm{m})}{I(r_1)}=\frac{r_1^{2}}{2^{2}}=\left(\frac{r_1}{2}\right)^{2}.
Isto significa: para saber quantas vezes a intensidade aumenta, você precisa saber a distância inicial r_1; a expressão acima dá a resposta em função de r_1.

Passo 5

Exemplos numéricos práticos (para fixar e para provas — faça contas assim na hora):
  • Se estávamos a r_1=4\\ \mathrm{m} e passamos para 2\\ \mathrm{m}: a razão é \left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}=2^{2}=4. Ou seja, a intensidade aumenta 4 vezes.
  • Se estávamos a r_1=8\\ \mathrm{m} e passamos para 2\\ \mathrm{m}: a razão é \left(\dfrac{8}{2}\right)^{2}=4^{2}=16. Intensidade aumenta 16 vezes.
  • Se a ideia da questão for “aproximar à metade da distância” (caso clássico), então r_2=\dfrac{r_1}{2} e a razão é \left(\dfrac{r_1}{r_1/2}\right)^{2}=2^{2}=4 — aumento de 4 vezes.
Dica prática para prova: identifique sempre a distância inicial e final, aplique rapidamente a fórmula \dfrac{I_2}{I_1}=(r_1/r_2)^2 e pronto.

Resposta

\displaystyle \frac{I(2\\ \mathrm{m})}{I(r_1)}=\left(\dfrac{r_1}{2}\right)^{2}.
Ex.: r_1=4\\ \mathrm{m}\Rightarrow 4 vezes.
Ex.: r_1=8\\ \mathrm{m}\Rightarrow 16 vezes.

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