(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
Passo 1
Resumindo o enunciado: aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
em torno de
e estimar o erro de aproximação no intervalo
. Vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor e a desigualdade de Taylor para o resto.
Passo 2
Sabemos que o polinômio de Taylor de grau
em torno de
é dado por
. No caso de
, as derivadas repetem o ciclo
.
Calculamos as derivadas em :
Calculamos as derivadas em
-
-
-
-
-
-
Substituindo no polinômio, obtemos
.
Passo 3
Forma do resto:
para algum
.
Aqui e
. No intervalo
vale
e
.
Logo, para todo temos
, que define a precisão.
Aqui
Logo, para todo
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 5 de
em torno de
é
. O erro satisfaz
para todo
.