(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) approx Tn(x) quando x estiver no intervalo dado.
f(x)=sen x, a=pi / 4, n=5, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

Resumindo o enunciado: aproximar f(x)=sin x por um polinômio de Taylor de grau n=5 em torno de a=pi/4 e estimar o erro de aproximação no intervalo [0,pi/2]. Vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor e a desigualdade de Taylor para o resto.

Passo 2

Sabemos que o polinômio de Taylor de grau n em torno de a é dado por Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k. No caso de f(x)=sin x, as derivadas repetem o ciclo sin x,cos x,-sin x,-cos x.
Calculamos as derivadas em a=pi/4:
  • f(a)=sin(pi/4)=tfracraiz22
  • f'(a)=cos(pi/4)=tfracraiz22
  • f''(a)=-sin(pi/4)=-tfracraiz22
  • f^(3)(a)=-cos(pi/4)=-tfracraiz22
  • f^(4)(a)=sin(pi/4)=tfracraiz22
  • f^(5)(a)=cos(pi/4)=tfracraiz22
    Substituindo no polinômio, obtemos
    T5(x)=tfracraiz22+tfracraiz22(x-tfracpi4)-tfracraiz24(x-tfracpi4)^2-tfracraiz212(x-tfracpi4)^3+tfracraiz248(x-tfracpi4)^4+tfracraiz2240(x-tfracpi4)^5.

Passo 3

Forma do resto: Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-a)^n+1 para algum xi.
Aqui n+1=6 e f^(6)(x)=sin x. No intervalo [0,pi/2] vale |sin x|<=1 e |x-a|<=pi/4.
Logo, para todo xin[0,pi/2] temos |R5(x)|<=16!(pi4)^6 = (pi/4)^6720 approx 3.3times10^-4, que define a precisão.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 5 de f(x)=sin x em torno de a=pi/4 é T5(x)=tfracraiz22+tfracraiz22(x-tfracpi4)-tfracraiz24(x-tfracpi4)^2-tfracraiz212(x-tfracpi4)^3+tfracraiz248(x-tfracpi4)^4+tfracraiz2240(x-tfracpi4)^5. O erro satisfaz |R5(x)|<=(pi/4)^6720approx3.3times10^-4 para todo xin[0,pi/2].

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