5^a O conjunto A=x in R:|x+2x+3| >= 2 é fechado? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
A=xinR:|tfracx+2x+3|>=2
é fechado. Vamos usar inequações racionais e noções de ponto de acumulação.

Passo 2

Primeiro observe que a expressão (x+2)/(x+3) só faz sentido para xne-3. Podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal da desigualdade de módulo:
(x+2x+3)^2>=4

Passo 3

A partir daí multiplicamos ambos os lados por (x+3)^2>0 (pois já excluímos x=-3) e obtemos a inequação polinomial:
(x+2)^2>=4(x+3)^2
que dá
x^2+4x+4>=4x^2+24x+36
ou seja
3x^2+20x+32<=0

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara em 3x^2+20x+32=0 achamos as raízes
x=-4e x=-tfrac83
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a região que satisfaz 3x^2+20x+32<=0 é
xin[-4,-tfrac83]

Passo 5

Lembrando que precisamos excluir x=-3, o conjunto fica
A=[-4,-tfrac83]setminus-3=[-4,-3)cup(-3,-tfrac83]

Passo 6

Note que -3 é ponto de acumulação de A (posso aproximar de -3 por valores em ambos os lados), mas -3 não pertence a A. Portanto A não contém todos os seus pontos de fronteira e não é fechado.

Resposta

Não, A não é fechado, pois A=[-4,-tfrac83]setminus-3 e -3 é ponto de acumulação de A que não pertence a A.

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