Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
7. Aproxime sen 85^{\circ} com precisão de quatro casas decimais usando uma série de Taylor apropriada.

Passo 1

O enunciado pede aproximar \sin(85^\circ) com quatro casas decimais usando série de Taylor. Como a série de Maclaurin de \sin(x) converge mal longe de 0, usamos a identidade
\sin(85^\circ)=\cos(5^\circ)
e aplicamos a série de Maclaurin para \cos(x).

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos(x) é
\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}.
Para garantir erro menor que 0{,}5\times10^{-4} (metade da quarta casa decimal), basta truncar após o termo k=3, pois o próximo termo tem magnitude da ordem de 10^{-9}.

Passo 3

Convertendo 5^\circ para radianos e calculando os termos:
x=5^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{36}\approx0{,}0872664626,
x^2\approx0{,}0076154355,\quad \frac{x^2}{2!}\approx0{,}0038077178,
x^4\approx0{,}0000580148,\quad \frac{x^4}{4!}\approx0{,}0000024173,
x^6\approx0{,}0000004417078,\quad \frac{x^6}{6!}\approx0{,}0000000006132.

Passo 4

Substituindo na série truncada até k=3:
\cos(x)\approx1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} =1-0{,}0038077178+0{,}0000024173-0{,}0000000006132 \approx0{,}9961946989.
Logo
\sin(85^\circ)=\cos(5^\circ)\approx0{,}9961946989
e, arredondando em quatro casas decimais,
\sin(85^\circ)\approx0{,}9962.

Passo 5

Verificando em calculadora ou software, obtém-se
\sin(85^\circ)\approx0{,}9961946981,
confirmando a aproximação até a quarta casa decimal.

Resposta

\sin(85^\circ)\approx0,9962

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