Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
6. Aproxime arc tg 0,1 com precisão de três casas decimais usando a série de Maclaurin de \operatorname{arc} \operatorname{tg} x.

Passo 1

O problema pede para aproximar \arctan(0,1) com três casas decimais usando a série de Maclaurin de \arctan x. O desenvolvimento em torno de x=0 é dado por
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Como x=0,1 é pequeno, podemos usar o critério de Leibniz (série alternante) para parar quando o próximo termo tiver módulo menor que a tolerância 0,5\times10^{-3}.

Passo 2

O termo geral da série é
T_{n} = (-1)^n \frac{(0,1)^{2n+1}}{2n+1}.
A condição de erro para três casas decimais é \lvert T_{N+1}\rvert < 0,5\times10^{-3}. Calculemos o primeiro termo fora da soma parcial até n=2:
\lvert T_{3}\rvert = \frac{(0,1)^{7}}{7} = \frac{10^{-7}}{7}\approx1,43\times10^{-8} < 0,0005.
Logo, basta somar os termos até n=2.

Passo 3

Calculemos a soma parcial
S_2 = T_{0} + T_{1} + T_{2} = 0,1 - \frac{(0,1)^3}{3} + \frac{(0,1)^5}{5}.
Cada termo vale
T_{0} = 0,1,\quad T_{1} = -\frac{0,1^3}{3} = -\frac{0,001}{3} \approx -0,0003333333,\quad T_{2} = \frac{0,1^5}{5} = \frac{10^{-5}}{5} = 0,000002.
Somando,
S_2 \approx 0,1 - 0,0003333333 + 0,000002 = 0,0996686667.

Passo 4

Arredondando S_2 para três casas decimais obtemos
\arctan(0,1)\approx 0,100.
Para conferir, um recurso computacional dá
\arctan(0,1)\approx0,099668652,
e a diferença \approx1{,}4\times10^{-8} está bem abaixo de 5\times10^{-4}, confirmando a precisão.

Resposta

\arctan(0,1)\approx0,100.

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