Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
9. Aproxime senh 0,5 com precisão de três casas decimais usando a série de Maclaurin de \operatorname{senh} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \senh(0,5) com precisão de três casas decimais usando a série de Maclaurin de \senh x. Vamos precisar da definição da série
\senh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
e de um critério de resto (Lagrange) para garantir a precisão desejada.

Passo 2

Escrevendo os primeiros termos da série em x=0,5:
\senh(0,5) = \frac{(0,5)^{1}}{1!} + \frac{(0,5)^{3}}{3!} + \frac{(0,5)^{5}}{5!} + R_2
onde
T_0 = \frac{0,5}{1} = 0,5, \quad T_1 = \frac{(0,5)^{3}}{6} = 0,0208333\ldots, \quad T_2 = \frac{(0,5)^{5}}{120} = 0,0002604\ldots.

Passo 3

Para controlar o erro, usamos o resto de Lagrange:
|R_2| \le \frac{|0,5|^{7}}{7!} = \frac{0,5^{7}}{5040} \approx 1{,}6\times10^{-6}.
Como queremos três casas decimais, basta um erro menor que 0{,}5\times10^{-3}. De fato
1{,}6\times10^{-6} < 0{,}0005,
logo os três primeiros termos garantem a precisão exigida.

Passo 4

Somando os três termos:
S = 0,5 + 0,0208333 + 0,0002604 = 0,5210937\ldots
Arredondando para três casas decimais, obtemos
\senh(0,5) \approx 0{,}521.

Passo 5

Comparando com o valor exato via cálculo direto (\exp(0,5)-\exp(-0,5))/2\approx0,5210953, vemos que
|0{,}5210953 - 0{,}5210937| \approx 1{,}6\times10^{-6} < 0{,}0005,
confirmando que a aproximação está correta a três casas decimais.

Resposta

\senh(0,5)\approx0,521

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