Aproxime o valor funcional dado conforme indicado e verifique seu trabalho comparando sua resposta com o valor funcional produzido diretamente por um recurso computacional.
8. Aproxime \cos \left(-175^{\circ}\right) com precisão de quatro casas decimais usando uma série de Taylor.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(-175^\circ) com quatro casas decimais usando série de Taylor. O conteúdo principal aqui é a expansão de Taylor de \cos(x) em torno de zero, e também precisamos converter graus para radianos.

Passo 2

Repare que \cos é função par, logo
\cos(-\theta)=\cos(\theta).
Além disso, como 175^\circ=180^\circ-5^\circ e \cos(180^\circ-\theta)=-\cos(\theta), obtemos
\cos(-175^\circ)=\cos(175^\circ)=-\cos(5^\circ).
Portanto basta aproximar \cos(5^\circ).

Passo 3

Converta 5^\circ em radianos:
x = 5^\circ = \frac{5\pi}{180} = \frac{\pi}{36}\approx0{,}0872665.
A série de Taylor de \cos(x) em torno de 0 é
\cos(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots.

Passo 4

Calculemos as potências até um termo cuja ordem seja menor que 10^{-4}.
x^2\approx0{,}0076154,\quad x^4\approx5{,}8025\times10^{-5},\quad x^6\approx4{,}418\times10^{-7},\quad x^8\approx3{,}367\times10^{-9}.
Assim os primeiros termos da série são
T_0=1,\quad T_1=-\frac{x^2}{2!}\approx-0{,}0038077,\quad T_2=\frac{x^4}{4!}\approx2{,}4177\times10^{-6},\quad T_3=-\frac{x^6}{6!}\approx-6{,}136\times10^{-10}.
O termo seguinte \tfrac{x^8}{8!} é da ordem 10^{-14}, muito abaixo de 10^{-4}, então não afeta a quarta casa decimal.

Passo 5

Somando esses termos,
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{36}\bigr) \approx1-0{,}0038077+0{,}0000024177-0{,}0000000006136 \approx0{,}9961947.
Logo
\cos(-175^\circ)=-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{36}\bigr)\approx-0{,}9961947.
Arredondando para quatro casas decimais,
\boxed{-0{,}9962}.
Comparando com um recurso computacional, que fornece \cos(-175^\circ)\approx-0{,}9961947, vemos que nossa aproximação está correta.

Resposta

-0,9962

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