Um aquecedor elétrico de 600 W é imerso em um copo de 200 g d’água inicialmente à temperatura ambiente ( T_{\text {amb }} \approx 300 \mathrm{~K} ).
a) Deduza uma fórmula para o tempo que vai levar para aquecer a água até a fervura. Defina os símbolos usados em sua fórmula com clareza.
b) Insira os números em sua fórmula e obtenha uma estimativa numérica para o tempo que leva para ferver a água. Use que 1 \mathrm{cal} \approx 4,2 \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) deduzir uma fórmula para o tempo necessário para aquecer a água até a fervura;
  • (b) inserir os números e obter uma estimativa numérica para esse tempo, usando 1\\ \text{cal}\approx4,2\\ \text{J}.
Dados fornecidos (tirados do enunciado):
  • Potência do aquecedor: P=600\\ \mathrm{W} (ou 600\\ \mathrm{J\\ s^{-1}}).
  • Massa de água: m=200\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial aproximada: T_{\text{amb}}\approx300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de fervura da água (à pressão ambiente): T_{\text{ferv}} \approx 373\\ \mathrm{K}.
  • Conversão: 1\\ \text{cal}\approx4,2\\ \text{J}.
O enunciado não pede considerar perdas térmicas ou o copo; portanto, usaremos o caso ideal (tudo o calor gerado pelo aquecedor vai para a água).

Passo 2

Conceito físico principal (explicação didática):
  • Para aquecer uma massa m de uma substância (aqui água) de uma temperatura inicial T_{\text{i}} até uma temperatura final T_{\text{f}}, a energia térmica mínima necessária (calor) é dada por
Q = m\,c\,\Delta T
onde:
  • Q é a energia térmica em joules ( \mathrm{J});
  • m é a massa da substância (aqui em gramas ou quilogramas, desde que a unidade de c seja consistente);
  • c é a capacidade calorífica específica da substância (energia necessária para elevar 1 unidade de massa por 1 grau); para a água em unidades práticas, c\approx 1\\ \text{cal}\,\mathrm{g^{-1}\,^\circ C^{-1}};
  • \Delta T = T_{\text{f}}-T_{\text{i}} é a variação de temperatura (em \mathrm{K} ou {}^\circ\mathrm{C}; as duas unidades têm o mesmo incremento).
Explicando c com a conversão pedida:
  • c_{\text{água}} \approx 1\\ \text{cal}\,\mathrm{g^{-1}\,^\circ C^{-1}} \approx 4,2\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}á, usando 1\\ \text{cal}\approx4,2\\ \text{J}.

Passo 3

Relação entre potência e tempo (passo didático):
  • Potência P é a taxa de fornecimento de energia: P=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}. Se assumirmos potência constante e que toda energia fornecida vai para aquecer a água, a energia total Q é fornecida em tempo t tal que P\,t=Q.
  • Isolando t obtemos a fórmula desejada:
t = \frac{Q}{P} = \frac{m\,c\,(T_{\text{f}}-T_{\text{i}})}{P}.
Agora definimos claramente os símbolos usados na fórmula:
  • t: tempo necessário (em segundos, \mathrm{s});
  • m: massa da água (aqui 200\\ \mathrm{g});
  • c: capacidade calorífica específica da água (usar 4,2\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}});
  • T_{\text{f}}: temperatura final (fervura) em \mathrm{K} (usar 373\\ \mathrm{K});
  • T_{\text{i}}: temperatura inicial em \mathrm{K} (usar 300\\ \mathrm{K});
  • P: potência do aquecedor em \mathrm{W} ( = \mathrm{J\,s^{-1}}, aqui 600\\ \mathrm{W}).
Essa é a dedução pedida no item (a).

Passo 4

Inserindo os números na fórmula (começando pelos parâmetros):
  • Capacidade térmica da água em unidades compatíveis:
c = 4,2\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_{\text{f}}-T_{\text{i}} = 373\\ \mathrm{K} - 300\\ \mathrm{K} = 73\\ \mathrm{K}.
  • Produto m\,c:
m\,c = 200\\ \mathrm{g}\times 4,2\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}} = 840\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Energia total necessária:
Q = m\,c\,\Delta T = 840\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\times 73\\ \mathrm{K}.
Agora calculamos Q:
Q = 840\times 73 = 840\times(70+3)=840\times70 + 840\times3 = 58\,800 + 2\,520 = 61\,320\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Cálculo do tempo e conversão para minutos (passo a passo):
  • Tempo em segundos:
t = \frac{Q}{P} = \frac{61\,320\\ \mathrm{J}}{600\\ \mathrm{J\,s^{-1}}} = 102,2\\ \mathrm{s}.
  • Converter para minutos e segundos:
102,2\\ \mathrm{s} = 1\\ \text{minuto} + 42{,}2\\ \mathrm{s}\approx 1\\ \text{min}\\\ 42\\ \text{s},
ou aproximadamente 1{,}7\\ \text{min}.

Passo 6

Observações finais e limitações (didática, para a prova e para a vida real):
  • A fórmula e o cálculo acima assumem que todo o calor gerado pelo aquecedor vai para a água (eficiência 100\%) e que o copo não absorve calor. Na prática haverá perdas por convecção, radiação e aquecimento do copo: o tempo real será maior.
  • O enunciado pediu uma estimativa, então o resultado obtido é adequado como resposta de prova. Se for necessário maior precisão, incluir capacidade térmica do recipiente e uma estimativa de perdas.
  • Resumo prático: memorize a fórmula t=\dfrac{m c \Delta T}{P} — ela é usada sempre que você tem uma potência constante e quer saber quanto tempo para fornecer uma energia térmica Q.

Resposta

(a) t=\frac{m\,c\,(T_{\text{f}}-T_{\text{i}})}{P},
onde t é o tempo, m a massa de água, c a capacidade térmica específica da água, T_{\text{f}} a temperatura final (fervura), T_{\text{i}} a temperatura inicial e P a potência do aquecedor.
(b) t=\frac{200\\ \mathrm{g}\times 4{,}2\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}\times(373\\ \mathrm{K}-300\\ \mathrm{K})}{600\\ \mathrm{J\,s^{-1}}}\approx 102{,}2\\ \mathrm{s}\approx 1\\ \text{min}\\\ 42\\ \text{s}.

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