Considere uma distribuição esférica de carga de raio a cuja densidade volumétrica de carga é constante.
Calcule o campo elétrico em um ponto dentro da distribuiçāo ( r<a ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz o seguinte pedido:
  • Informação: Distribuição esférica de carga de raio a.
  • Informação: Densidade volumétrica de carga é constante; denotamos essa densidade por \rho.
  • Informação implícita: Queremos o campo elétrico em um ponto dentro da distribuição, isto é para r<a, onde r é a distância do centro da esfera até o ponto.
  • Pedido: Calcular o campo elétrico \mathbf{E} para r<a. (Queremos a dependência de r, o módulo e a direção do campo. Podemos também expressar a resposta em termos da carga total Q, se preferir.)

Passo 2

Escolha do método e enunciado da lei que vamos usar.
  • Pelo enunciado a distribuição é esférica e homogênea (densidade constante). Isso garante simetria esférica: o campo elétrico, se existir, só pode depender de r e apontar radialmente (para fora se \rho>0).
  • O método natural e mais simples para usar nessa simetria é a Lei de Gauss. Vou explicar o que ela diz:
    • A Lei de Gauss, em forma integral, é
    \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},onde:
    • \mathbf{E} é o campo elétrico,
    • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada \mathcal{S} (magnitude igual à área infinitesimal, direção normal externa),
    • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal{S},
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Justificativa passo-a-passo: escolheremos como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada na distribuição. Por simetria, sobre essa esfera o campo tem mesma magnitude em todos os pontos e é radial, então \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e o produto escalar simplifica.

Passo 3

Calcular a carga contida dentro da esfera de raio r (essa é a carga que aparece em Q_{\text{int}}).
  • A densidade volumétrica é \rho (carga por unidade de volume). O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Portanto a carga contida é
Q_{\text{int}}=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Observação didática: isso vem diretamente da definição de densidade volumétrica: carga = densidade \times volume.

Passo 4

Calcular o fluxo do campo elétrico pela superfície gaussiana.
  • A superfície é a esfera de raio r. Sua área total é 4\pi r^{2}.
  • Por simetria o campo tem módulo E(r) constante sobre a superfície e aponta radialmente, então o fluxo é
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Explicação: \mathbf{E} e d\mathbf{A} são paralelos e o produto escalar reduz a E(r)\,dA; integrar dA sobre a esfera dá 4\pi r^{2}.

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss e resolver para E(r).
  • Substituindo o fluxo e Q_{\text{int}} na Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{\varepsilon_0}.
  • Simplificando a expressão passo a passo:
    • Cancelar o fator \pi dos dois lados,
    • cancelar um fator r^{2} deixando um único r no numerador do lado direito,
    • cancelar o fator 4.
  • O resultado é
E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}.
  • Lembrando a direção radial, o campo vetorial é
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor radial (direção a partir do centro da esfera para o ponto).

Passo 6

Expressar a resposta também em termos da carga total Q da esfera (opcional, mas útil).
  • A carga total da esfera de raio a é
Q=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.
  • Isolando \rho obtemos \rho=\dfrac{3Q}{4\pi a^{3}}.
  • Substituindo em E(r)=\dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_0} obtemos, após simplificar,
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{a^{3}}\,r\,\hat{r}.
  • Observação de verificação: avaliando esta expressão em r=a recupera-se o campo externo na superfície \mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{a^{2}}\hat{r}, mostrando continuidade do campo na fronteira (checagem útil).

Passo 7

Resumo conceitual e dica para prova.
  • Intuitivamente: dentro de uma esfera uniformemente carregada, apenas a carga contida na esfera de raio r contribui para o campo em r; a carga exterior a essa esfera não influencia (isso segue da simetria e da Lei de Gauss). Por isso o campo cresce linearmente com r dentro da esfera.
  • Dica prática: em questões de simetria esférica sempre tente a Lei de Gauss com superfície esférica coaxial; facilite muito a conta.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}\,\hat{r}
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{a^{3}}\,r\,\hat{r}

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