Considere uma distribuição esférica de carga de raio a cuja densidade volumétrica de carga é constante.
Calcule o campo elétrico em um ponto dentro da distribuiçāo (
).
Calcule o campo elétrico em um ponto dentro da distribuiçāo (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz o seguinte pedido:
- Informação: Distribuição esférica de carga de raio
. - Informação: Densidade volumétrica de carga é constante; denotamos essa densidade por
. - Informação implícita: Queremos o campo elétrico em um ponto dentro da distribuição, isto é para
, onde é a distância do centro da esfera até o ponto. - Pedido: Calcular o campo elétrico
para . (Queremos a dependência de , o módulo e a direção do campo. Podemos também expressar a resposta em termos da carga total , se preferir.)
Passo 2
Escolha do método e enunciado da lei que vamos usar.
- Pelo enunciado a distribuição é esférica e homogênea (densidade constante). Isso garante simetria esférica: o campo elétrico, se existir, só pode depender de
e apontar radialmente (para fora se ). - O método natural e mais simples para usar nessa simetria é a Lei de Gauss. Vou explicar o que ela diz:
- A Lei de Gauss, em forma integral, é
onde: -
é o campo elétrico, -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada (magnitude igual à área infinitesimal, direção normal externa), -
é a carga total contida dentro da superfície , -
é a permissividade do vácuo.
- Justificativa passo-a-passo: escolheremos como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada na distribuição. Por simetria, sobre essa esfera o campo tem mesma magnitude em todos os pontos e é radial, então é paralelo a e o produto escalar simplifica.
Passo 3
Calcular a carga contida dentro da esfera de raio
(essa é a carga que aparece em
).
- A densidade volumétrica é
(carga por unidade de volume). O volume de uma esfera de raio é . - Portanto a carga contida é
- Observação didática: isso vem diretamente da definição de densidade volumétrica: carga = densidade
volume.
Passo 4
Calcular o fluxo do campo elétrico pela superfície gaussiana.
- A superfície é a esfera de raio
. Sua área total é . - Por simetria o campo tem módulo
constante sobre a superfície e aponta radialmente, então o fluxo é
- Explicação:
e são paralelos e o produto escalar reduz a ; integrar sobre a esfera dá .
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss e resolver para
.
- Substituindo o fluxo e
na Lei de Gauss:
- Simplificando a expressão passo a passo:
- Cancelar o fator
dos dois lados, - cancelar um fator
deixando um único no numerador do lado direito, - cancelar o fator
.
- Cancelar o fator
- O resultado é
- Lembrando a direção radial, o campo vetorial é
onde
é o versor radial (direção a partir do centro da esfera para o ponto).
Passo 6
Expressar a resposta também em termos da carga total
da esfera (opcional, mas útil).
- A carga total da esfera de raio
é
- Isolando
obtemos . - Substituindo em
obtemos, após simplificar,
- Observação de verificação: avaliando esta expressão em
recupera-se o campo externo na superfície , mostrando continuidade do campo na fronteira (checagem útil).
Passo 7
Resumo conceitual e dica para prova.
- Intuitivamente: dentro de uma esfera uniformemente carregada, apenas a carga contida na esfera de raio
contribui para o campo em ; a carga exterior a essa esfera não influencia (isso segue da simetria e da Lei de Gauss). Por isso o campo cresce linearmente com dentro da esfera. - Dica prática: em questões de simetria esférica sempre tente a Lei de Gauss com superfície esférica coaxial; facilite muito a conta.