4.8 (Exemplo) Um momento de 200 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado a uma viga de madeira de seção retangular de 40 por 90 mm , em um plano que forma um ângulo de 30^{\circ} com a vertical. Determinar ( a ) a tensão máxima na viga e ( b ) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal.

Passo 1

O enunciado dá um momento M = 200\,\mathrm{N\cdot m} aplicado a uma viga de seção retangular com largura b = 40\,\mathrm{mm} (eixo x) e altura h = 90\,\mathrm{mm} (eixo y), num plano que forma \ang{30} com a vertical. Pede-se (a) a tensão máxima de flexão e (b) o ângulo da superfície neutra em relação à horizontal. O conteúdo é flexão composta com eixo de flexão oblíquo, então vamos decompor o momento em componentes ortogonais e usar a fórmula de tensão de flexão.

Passo 2

Escolhemos o eixo x horizontal e o eixo y vertical centrados na seção. Decompondo
M_x = M\sin30^\circ,\quad M_y = M\cos30^\circ,
onde M=200\,\mathrm{N\cdot m}=200000\,\mathrm{N\cdot mm}. Logo
M_x = 200000\cdot\frac12 = 100000\,\mathrm{N\cdot mm}, \quad M_y = 200000\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx173205\,\mathrm{N\cdot mm}.
Os momentos de inércia centroidais da retângulo são
I_x = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{40\cdot90^3}{12} = 2{,}43\times10^6\,\mathrm{mm^4},
I_y = \frac{h\,b^3}{12} = \frac{90\cdot40^3}{12} = 4{,}8\times10^5\,\mathrm{mm^4}.

Passo 3

A tensão de flexão composta num ponto (x,y) é
\sigma(x,y) = \frac{M_x\,y}{I_x} \; - \; \frac{M_y\,x}{I_y}.
Os extremos ocorrem nos cantos (x,y)=(\pm20,\pm45),\mathrm{mm}. Avaliando em cada canto:
No canto (+20,+45):
\sigma = \frac{100000\cdot45}{2{,}43\times10^6} - \frac{173205\cdot20}{4{,}8\times10^5} \approx 1{,}85 - 7{,}22 = -5{,}37\,\mathrm{N/mm^2}.
No canto (-20,+45):
\sigma \approx 1{,}85 + 7{,}22 = 9{,}07\,\mathrm{N/mm^2}.
Nos outros dois cantos obtém-se -9{,}07 e +5{,}37. Portanto, a tensão máxima em módulo é \pm 9{,}07\,\mathrm{N/mm^2}.

Passo 4

Logo, a tensão máxima de flexão na viga é
\sigma_{\max} = 9{,}07\,\mathrm{N/mm^2} = 9{,}07\,\mathrm{MPa}.

Passo 5

A superfície neutra satisfaz \sigma=0, isto é
\frac{M_x\,y}{I_x} = \frac{M_y\,x}{I_y} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} = \frac{M_y\,I_x}{M_x\,I_y} \approx\frac{173205\cdot2{,}43\times10^6}{100000\cdot4{,}8\times10^5} \approx8{,}77.
O ângulo \varphi dessa reta em relação ao eixo x (horizontal) é
\varphi = \arctan(8{,}77)\approx83{,}5^\circ.

Resposta

(a) \sigma_{\max}=9{,}07\,\mathrm{MPa}.
(b) \varphi\approx83{,}5^\circ em relação à horizontal.

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