1. A área da base de um tetraedro é 24 \mathrm{~cm}^{2} e a altura do tetraedro é 4 cm . A que distância do vértice deve passar um plano paralelo à base para que a área da secção seja 15 \mathrm{~cm}^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A área da base do tetraedro é \,24\\ \text{cm}^2.
  • A altura do tetraedro (distância do vértice à base) é \,4\\ \text{cm}.
  • Queremos que a área da secção produzida por um plano paralelo à base seja \,15\\ \text{cm}^2.
    Pergunta que o problema faz: a que distância do vértice deve passar esse plano paralelo à base para que a secção tenha área \,15\\ \text{cm}^2?

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma bem direta): ao cortar um tetraedro por um plano paralelo à base, a secção obtida é uma figura semelhante à base. “Semelhante” aqui significa que todas as dimensões lineares da secção são proporcionais às da base por um mesmo fator de escala k.
Por que isso acontece? Imagine dois segmentos que saem do vértice e atingem pontos correspondentes na secção e na base; como o plano é paralelo, os triângulos formados são semelhantes (mesmos ângulos), então todos os comprimentos correspondentes têm a mesma razão. Se a distância do vértice até a secção for \,x e a altura total do vértice até a base for \,h, então o fator de escala linear entre secção e base é
k=\frac{x}{h}.
Área escala com o quadrado do fator linear. Ou seja, se a área da base é A_{\text{base}} e a área da secção é A, vale a relação
A = A_{\text{base}}\left(\frac{x}{h}\right)^2.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,A = área da secção procurada;
  • \,A_{\text{base}} = área da base do tetraedro;
  • \,x = distância do vértice até o plano da secção (o que queremos achar);
  • \,h = altura total do tetraedro (distância do vértice até a base).

Passo 3

Agora aplicamos os dados do problema na fórmula do passo anterior. Substituindo \,A=15, \,A_{\text{base}}=24 e \,h=4, obtemos
15 = 24\left(\frac{x}{4}\right)^2.

Passo 4

Resolvendo a equação passo a passo. Primeiro isolamos o quadrado:
\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}.
Agora tiramos a raiz quadrada (apenas a raiz positiva, pois x é uma distância):
\frac{x}{4} = \sqrt{\frac{5}{8}}.
Multiplicando ambos os lados por 4,
x = 4\sqrt{\frac{5}{8}}.

Passo 5

Simplificamos a expressão 4\sqrt{\dfrac{5}{8}} para uma forma mais bonita. Fazer isso passo a passo:
4\sqrt{\frac{5}{8}} = 4\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = 4\cdot\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = 2\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.
Agora note que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, então
\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,\sqrt{5}=\sqrt{10}.
Portanto
x=\sqrt{10}\\ \text{cm}\approx 3{,}1623\\ \text{cm}.

Passo 6

Cheque rápido (para ter confiança): fator linear \dfrac{x}{h}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}. O quadrado é \dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}. Multiplicando pela área da base: 24\cdot\dfrac{5}{8}=3\cdot5=15, que é exatamente a área desejada. Está consistente.

Resposta

\sqrt{10}\\ \text{cm}

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