- A área da base de um tetraedro é
e a altura do tetraedro é 4 cm . A que distância do vértice deve passar um plano paralelo à base para que a área da secção seja
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A área da base do tetraedro é
. - A altura do tetraedro (distância do vértice à base) é
. - Queremos que a área da secção produzida por um plano paralelo à base seja
.
Pergunta que o problema faz: a que distância do vértice deve passar esse plano paralelo à base para que a secção tenha área?
Passo 2
Conceito importante (explicado de forma bem direta): ao cortar um tetraedro por um plano paralelo à base, a secção obtida é uma figura semelhante à base. “Semelhante” aqui significa que todas as dimensões lineares da secção são proporcionais às da base por um mesmo fator de escala
.
Por que isso acontece? Imagine dois segmentos que saem do vértice e atingem pontos correspondentes na secção e na base; como o plano é paralelo, os triângulos formados são semelhantes (mesmos ângulos), então todos os comprimentos correspondentes têm a mesma razão. Se a distância do vértice até a secção for e a altura total do vértice até a base for
, então o fator de escala linear entre secção e base é
Por que isso acontece? Imagine dois segmentos que saem do vértice e atingem pontos correspondentes na secção e na base; como o plano é paralelo, os triângulos formados são semelhantes (mesmos ângulos), então todos os comprimentos correspondentes têm a mesma razão. Se a distância do vértice até a secção for
Área escala com o quadrado do fator linear. Ou seja, se a área da base é
e a área da secção é
, vale a relação
Aqui cada símbolo significa:
-
= área da secção procurada; -
= área da base do tetraedro; -
= distância do vértice até o plano da secção (o que queremos achar); -
= altura total do tetraedro (distância do vértice até a base).
Passo 3
Agora aplicamos os dados do problema na fórmula do passo anterior. Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 4
Resolvendo a equação passo a passo. Primeiro isolamos o quadrado:
Agora tiramos a raiz quadrada (apenas a raiz positiva, pois
é uma distância):
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 5
Simplificamos a expressão
para uma forma mais bonita. Fazer isso passo a passo:
Agora note que
, então
Portanto
Passo 6
Cheque rápido (para ter confiança): fator linear
. O quadrado é
. Multiplicando pela área da base:
, que é exatamente a área desejada. Está consistente.