- A base de um tetraedro é um triângulo cujos lados medem 20 cm , 24 cm e 32 cm . A uma distância de 3 cm do vértice passa um plano paralelo à base. Sabendo que a altura do tetraedro é 4 cm , calcule as medidas dos lados da secção.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).\n
- Temos um tetraedro cujo vértice superior chamarei de
e a base é o triângulo .\n - Os comprimentos dos lados da base são
e .\n - A altura do tetraedro (distância do vértice
ao plano da base ) é .\n - Um plano paralelo à base corta o tetraedro a uma distância de
do vértice . Esse plano determina uma secção triangular (um triângulo paralelo a ).\n - Pedido: calcular as medidas dos lados desse triângulo-secção (ou seja, os comprimentos dos três lados do triângulo obtido pela interseção do plano com o tetraedro).
Passo 2
Ideia geométrica básica (por que a secção é semelhante à base).\n
Quando um plano é paralelo à base de um tetraedro, a interseção com o tetraedro é um triângulo cuja orientação é paralela à base. Geometricamente, esse triângulo é uma imagem por homotetia (uma semelhança com centro no vértice ) do triângulo da base
. Em linguagem simples: as retas que vão de
a cada vértice da base encontram o plano da secção em três pontos que formam um triângulo com os mesmos ângulos da base, então os dois triângulos são semelhantes.\n
Quando um plano é paralelo à base de um tetraedro, a interseção com o tetraedro é um triângulo cuja orientação é paralela à base. Geometricamente, esse triângulo é uma imagem por homotetia (uma semelhança com centro no vértice
Consequência prática: os comprimentos correspondentes dos dois triângulos são proporcionais por um mesmo fator de escala
. Ou seja, se
são os lados da base e
os lados da secção correspondente, então\n
Passo 3
Determinar o fator de escala
(explicando cada variável).\n
Definimos:\n
Definimos:\n
-
= altura total do tetraedro = cm (distância de ao plano da base).\n -
= distância do vértice até o plano da secção = cm (dado).\n
Considere um segmento que liga
a um vértice da base, por exemplo
. Esse segmento é cortado pelo plano da secção em um ponto
. Os triângulos
e
(pares correspondentes) têm razões de semelhança iguais à razão das distâncias do vértice
às correspondentes seções ao longo desses segmentos. Assim, o fator de escala
que transforma a base na secção é a razão\n
\n
Substituindo os valores:\n
Passo 4
Aplicar o fator de escala aos lados dados e calcular explicitamente (contas passo a passo).\n
Se os lados da base são ,
e
cm, então os lados da secção são esses valores multiplicados por
.\n
Cálculo do primeiro lado:\n
Se os lados da base são
Cálculo do primeiro lado:\n
Cálculo do segundo lado:\n
Cálculo do terceiro lado:\n
Passo 5
Verificação rápida (checagem de consistência).\n
Podemos checar se esses comprimentos satisfazem a desigualdade triangular: porque
, e as outras somas também funcionam, então fazem sentido como lados de um triângulo. Além disso, eles são proporcionais aos lados da base com a mesma razão
, como esperado.
Podemos checar se esses comprimentos satisfazem a desigualdade triangular: