1. A base de um tetraedro é um triângulo cujos lados medem 20 cm , 24 cm e 32 cm . A uma distância de 3 cm do vértice passa um plano paralelo à base. Sabendo que a altura do tetraedro é 4 cm , calcule as medidas dos lados da secção.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema dá e o que pede).\n
  • Temos um tetraedro cujo vértice superior chamarei de V e a base é o triângulo ABC.\n
  • Os comprimentos dos lados da base são \,20\\ \text{cm}\,,\,24\\ \text{cm} e \,32\\ \text{cm}.\n
  • A altura do tetraedro (distância do vértice V ao plano da base ABC) é \,4\\ \text{cm}.\n
  • Um plano paralelo à base corta o tetraedro a uma distância de \,3\\ \text{cm} do vértice V. Esse plano determina uma secção triangular (um triângulo paralelo a ABC).\n
  • Pedido: calcular as medidas dos lados desse triângulo-secção (ou seja, os comprimentos dos três lados do triângulo obtido pela interseção do plano com o tetraedro).

Passo 2

Ideia geométrica básica (por que a secção é semelhante à base).\n
Quando um plano é paralelo à base de um tetraedro, a interseção com o tetraedro é um triângulo cuja orientação é paralela à base. Geometricamente, esse triângulo é uma imagem por homotetia (uma semelhança com centro no vértice V) do triângulo da base ABC. Em linguagem simples: as retas que vão de V a cada vértice da base encontram o plano da secção em três pontos que formam um triângulo com os mesmos ângulos da base, então os dois triângulos são semelhantes.\n
Consequência prática: os comprimentos correspondentes dos dois triângulos são proporcionais por um mesmo fator de escala k. Ou seja, se a,b,c são os lados da base e a',b',c' os lados da secção correspondente, então\n a' = k\cdot a,\qquad b' = k\cdot b,\qquad c' = k\cdot c.

Passo 3

Determinar o fator de escala k (explicando cada variável).\n
Definimos:\n
  • H = altura total do tetraedro = 4 cm (distância de V ao plano da base).\n
  • h = distância do vértice V até o plano da secção = 3 cm (dado).\n
Considere um segmento que liga V a um vértice da base, por exemplo VA. Esse segmento é cortado pelo plano da secção em um ponto A'. Os triângulos VA'B' e VAB (pares correspondentes) têm razões de semelhança iguais à razão das distâncias do vértice V às correspondentes seções ao longo desses segmentos. Assim, o fator de escala k que transforma a base na secção é a razão\n k=\frac{h}{H}.\n
Substituindo os valores:\n
k=\frac{3}{4}.

Passo 4

Aplicar o fator de escala aos lados dados e calcular explicitamente (contas passo a passo).\n
Se os lados da base são \,20, \,24 e \,32 cm, então os lados da secção são esses valores multiplicados por k=\dfrac{3}{4}.\n
Cálculo do primeiro lado:\n
20\cdot\frac{3}{4}=20\cdot\left(\frac{3}{4}\right)=5\cdot 3=15.\n
Cálculo do segundo lado:\n
24\cdot\frac{3}{4}=24\cdot\left(\frac{3}{4}\right)=6\cdot 3=18.\n
Cálculo do terceiro lado:\n
32\cdot\frac{3}{4}=32\cdot\left(\frac{3}{4}\right)=8\cdot 3=24.

Passo 5

Verificação rápida (checagem de consistência).\n
Podemos checar se esses comprimentos satisfazem a desigualdade triangular: \,15+18>24 porque 33>24, e as outras somas também funcionam, então fazem sentido como lados de um triângulo. Além disso, eles são proporcionais aos lados da base com a mesma razão \dfrac{3}{4}, como esperado.

Resposta

15\\ \text{cm}\n
18\\ \text{cm}\n
24\\ \text{cm}

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