Se a área de um quadrado apresenta valor igual a X unidades de área (u.a), determine sua nova área em função de x , sabendo que a medida de cada lado foi aumentada em 1 unidade de comprimento (u.c.).
A) x^{2}+2 x+2
B) x^{2}+2 x+1
C) x^{2}+1
D) x^{2}-2 x+2
E) x^{2}-1

Passo 1

O enunciado diz: a área de um quadrado vale X unidades de área (u.a). A medida de cada lado foi aumentada em 1 unidade de comprimento (u.c.). Pede-se determinar a nova área em função de x.
Dados relevantes: X (area original indicada no enunciado), aumento de cada lado em 1 (u.c.). Pergunta: qual é a nova área em função de x (as alternativas estão em termos de x).

Passo 2

Há uma ambiguidade aparente entre X (letra maiúscula) e x (minúscula). Para escolher a interpretação que faz sentido com as alternativas dadas, observamos isto: se interpretássemos X como a área original, a nova área seria X+2\sqrt{X}+1 (apareceria \sqrt{X}), o que não corresponde a nenhuma das alternativas (todas são polinômios em x). Portanto vamos assumir — como é natural para casar com as alternativas — que a letra x representa o comprimento do lado original do quadrado. Essa interpretação é a que torna o problema consistente com as opções dadas.

Passo 3

Definimos as variáveis claramente: seja x a medida do lado original do quadrado (em u.c.). A área de um quadrado é dada pela fórmula
\text{área} = (\text{lado})^{2}.á
Aplicando ao nosso caso, a área original é
A_{\text{orig}} = x^{2}.
Explicação rápida da fórmula: um quadrado tem lados iguais; a área é o produto da base pela altura e, como ambos são x, a área é x\cdot x=x^{2}.

Passo 4

Depois do aumento, o novo comprimento do lado é
\text{lado}_{\text{novo}} = x+1.
Isso vem simplesmente de somar 1 u.c. ao comprimento original x.

Passo 5

A nova área é o quadrado do novo lado:
A_{\text{novo}} = (x+1)^{2}.
Usamos a identidade para quadrado de binômio:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Com a=x e b=1 obtemos
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Um exemplo numérico para fixar: se x=3, a área original é 3^{2}=9 e a nova área é (3+1)^{2}=16, o que confere com 9+2\cdot3+1=16.

Passo 6

Comparando a expressão obtida x^{2}+2x+1 com as alternativas, vemos que corresponde exatamente à alternativa B.

Resposta

B) x^{2}+2 x+1

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