O número complexo \mathrm{z}=\mathrm{a}+3 \mathrm{i} tem módulo no valor de 7 . Sendo assim, é possível afirmar que o valor “a” e o cosseno de seu argumento são, respectivamente:
\text { (Adote: } \sqrt{2}=1,4 e \sqrt{5}=2,2 \text { ) }
A) \mathrm{a}=6,16 e cosseno do argumento =0,88
B) a=4,6 e cosseno do argumento =0,12
C) \mathrm{a}=6,16 e cosseno do argumento =0,12
D) \mathrm{a}=4,6 e cosseno do argumento =0,88
E) \mathrm{a}=5,5 e cosseno do argumento =0,27

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a parte real do número complexo é \mathrm{a} e a parte imaginária é 3, ou seja \mathrm{z}=\mathrm{a}+3\mathrm{i}. Também informa que o módulo de \mathrm{z} vale 7. A pergunta é: quais são os valores de \mathrm{a} e do cosseno do argumento de \mathrm{z} (ou seja, \cos(\arg(\mathrm{z})))? Dados auxiliares fornecidos: \sqrt{2}=1,4 e \sqrt{5}=2,2.

Passo 2

Relembrando a definição de módulo de número complexo: para \mathrm{z}=x+yi temos
|\mathrm{z}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=\mathrm{a} e y=3. Substituindo o valor do módulo:
\sqrt{\mathrm{a}^{2}+3^{2}}=7.
Vou desenvolver essa equação passo a passo para achar \mathrm{a}.

Passo 3

Elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz (explico: (\sqrt{U})^{2}=U para qualquer U\ge0):
\mathrm{a}^{2}+3^{2}=7^{2}.
Calculo os quadrados:
\mathrm{a}^{2}+9=49.

Passo 4

Isolo \mathrm{a}^{2}:
\mathrm{a}^{2}=49-9=40.
Portanto \mathrm{a}=\pm\sqrt{40}. Vou agora calcular \sqrt{40} usando as aproximações fornecidas.

Passo 5

Fatoro \sqrt{40} para facilitar:
\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}.
Para aproximar \sqrt{10} uso \sqrt{10}=\sqrt{2\cdot5}=\sqrt{2}\sqrt{5}. Com as aproximações dadas:
\sqrt{10}\approx\sqrt{2}\,\sqrt{5}\approx 1,4\cdot 2,2.
Faço a multiplicação (explico: 1{,}4\times2{,}2=(14\times22)/100=308/100=3{,}08):
\sqrt{10}\approx 3{,}08.

Passo 6

Portanto
\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 2\cdot 3{,}08=6{,}16.
Logo as soluções para \mathrm{a} são \mathrm{a}\approx\pm 6{,}16. O enunciado lista alternativas com valores positivos, então vamos considerar o caso \mathrm{a}=6{,}16 (se \mathrm{a} fosse negativo o cosseno do argumento mudaria de sinal, e isso aparece nas alternativas).

Passo 7

Agora explico como achar o cosseno do argumento de \mathrm{z}. Para um número complexo \mathrm{z}=x+yi com argumento \theta=\arg(\mathrm{z}), temos as relações trigonométricas no triângulo retângulo formado:
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
No nosso caso x=\mathrm{a} e a hipotenusa é o módulo 7. Então
\cos(\arg(\mathrm{z}))=\frac{\mathrm{a}}{7}.

Passo 8

Substituo \mathrm{a}=6{,}16:
\cos(\arg(\mathrm{z}))=\frac{6{,}16}{7}.
Faço a divisão (explico: 7\times0{,}88=6{,}16, então a divisão dá exatamente 0{,}88):
\cos(\arg(\mathrm{z}))=0{,}88.

Passo 9

Concluo que, usando as aproximações fornecidas, a escolha que corresponde aos valores é a que apresenta \mathrm{a}=6{,}16 e \cos(\arg(\mathrm{z}))=0{,}88.

Resposta

A) \mathrm{a}=6,16 e cosseno do argumento =0,88

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