O número complexo
tem módulo no valor de 7 . Sendo assim, é possível afirmar que o valor “a” e o cosseno de seu argumento são, respectivamente:
A)
e cosseno do argumento
B)
e cosseno do argumento
C)
e cosseno do argumento
D)
e cosseno do argumento
E)
e cosseno do argumento
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a parte real do número complexo é
e a parte imaginária é
, ou seja
. Também informa que o módulo de
vale
. A pergunta é: quais são os valores de
e do cosseno do argumento de
(ou seja,
)? Dados auxiliares fornecidos:
e
.
Passo 2
Relembrando a definição de módulo de número complexo: para
temos
Aqui
e
. Substituindo o valor do módulo:
Vou desenvolver essa equação passo a passo para achar
.
Passo 3
Elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz (explico:
para qualquer
):
Calculo os quadrados:
Passo 4
Isolo
:
Portanto
. Vou agora calcular
usando as aproximações fornecidas.
Passo 5
Fatoro
para facilitar:
Para aproximar
uso
. Com as aproximações dadas:
Faço a multiplicação (explico:
):
Passo 6
Portanto
Logo as soluções para
são
. O enunciado lista alternativas com valores positivos, então vamos considerar o caso
(se
fosse negativo o cosseno do argumento mudaria de sinal, e isso aparece nas alternativas).
Passo 7
Agora explico como achar o cosseno do argumento de
. Para um número complexo
com argumento
, temos as relações trigonométricas no triângulo retângulo formado:
No nosso caso
e a hipotenusa é o módulo
. Então
Passo 8
Substituo
:
Faço a divisão (explico:
, então a divisão dá exatamente
):
Passo 9
Concluo que, usando as aproximações fornecidas, a escolha que corresponde aos valores é a que apresenta
e
.
Resposta
A)
e cosseno do argumento