El área de la sección transversal del núcleo de un transformador ideal de 1.2 \mathrm{kVA}, 120 / 208 \mathrm{~V} y 50 Hz es de 100 \mathrm{~cm}^{2}. El primario tiene 60 vueltas. Calcule a) la fem inducida por devanado, b) el número de vueltas en el secundario, y c ) la densidad de flujo efectiva en el núcleo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • Potência aparente: S=1{,}2\\ \mathrm{kVA}.
    • Tensões nominales: primario V_1=120\\ \mathrm{V} (RMS) e secundario V_2=208\\ \mathrm{V} (RMS).
    • Frequência: f=50\\ \mathrm{Hz}.
    • Área da seção transversal do núcleo: 100\\ \mathrm{cm}^2.
    • Número de espiras do primario: N_1=60 voltas.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) a fem induzida por devanado (interpreto como a fem por volta, isto é, por espira, em RMS);
    • (b) o número de voltas no secundário N_2;
    • (c) a densidade de fluxo efetiva no núcleo (ou seja, o valor máximo da densidade de fluxo magnético B_{\max} correspondente à tensão).

Passo 2

Conversão de unidades e revisão das fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Converter a área para unidades SI:
    • 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
    • Logo A = 100\\ \mathrm{cm}^2 = 100\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 0,01\\ \mathrm{m}^2.
  • Relação tensão/espiras para um transformador ideal:
    • Para fluxo senoidal \Phi(t)=\Phi_{\max}\sin(\omega t) a fem RMS induzida numa bobina de N espiras é E_{\text{rms}} = 4{,}44\,f\,N\,\Phi_{\max}.Explicação do fator 4{,}44: da derivada da senóide obtemos v(t)=N\,\dfrac{d\Phi}{dt}=N\omega\Phi_{\max}\cos(\omega t). O valor RMS de N\omega\Phi_{\max}\cos(\omega t) é N\omega\Phi_{\max}/\sqrt{2}. Como \omega=2\pi f, tem-se E_{\text{rms}}=N(2\pi f)\Phi_{\max}/\sqrt{2}=4{,}44288\,f\,N\,\Phi_{\max}, que arredondamos para 4{,}44.
    • Além disso \Phi_{\max}=B_{\max}A, onde B_{\max} é a densidade de fluxo magnético máxima no núcleo e A a área da seção transversal.
    • Portanto, relacionando E_{\text{rms}}, N, f, A e B_{\max}: E_{\text{rms}} = 4{,}44\,f\,N\,B_{\max}\,A.Ou isolando B_{\max}: B_{\max} = \dfrac{E_{\text{rms}}}{4{,}44\,f\,N\,A}.
  • Relação de transformação ideal entre tensões e espiras:
    \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{N_1}{N_2}\quad\Longrightarrow\quad N_2 = N_1\cdot\dfrac{V_2}{V_1}.
    (Aqui V_1 e V_2 são as tensões RMS nominais.)

Passo 3

Calcular a fem induzida por volta (parte a).
  • A fem RMS induzida no conjunto do primário é igual à tensão nominal V_1 (transformador ideal, sem quedas), portanto E_{1,\text{rms}}=120\\ \mathrm{V}.
  • A fem por volta (por espira) é e_{\text{por volta}}=E_{1,\text{rms}}/N_1. e_{\text{por volta}}=\dfrac{120}{60}=2.
  • Resultado numérico: cada volta tem 2\\ \mathrm{V} RMS.

Passo 4

Calcular o número de voltas no secundário (parte b).
  • Usando a relação de transformação: N_2 = N_1\cdot\dfrac{V_2}{V_1} = 60\cdot\dfrac{208}{120}.
  • Calcular passo a passo: \dfrac{208}{120}=\dfrac{208}{120}=1{,}733333\ldots
N_2 = 60\times1{,}733333\ldots = 104.
  • Como N_2 deve ser inteiro, N_2=104 voltas.

Passo 5

Calcular a densidade de fluxo efetiva no núcleo (parte c), usando a fórmula explicada no Passo 2.
  • Usamos a equação B_{\max}=\dfrac{E_{1,\text{rms}}}{4{,}44\,f\,N_1\,A}.
  • Substituindo os valores (lembre: A=0,01\\ \mathrm{m}^2, f=50\\ \mathrm{Hz}, N_1=60, E_{1,\text{rms}}=120\\ \mathrm{V}): B_{\max}=\dfrac{120}{4{,}44\times50\times60\times0,01}.
  • Calcular o denominador passo a passo: 4{,}44\times50=222,
222\times60=13\,320,
13\,320\times0,01=133{,}2.
  • Então B_{\max}=\dfrac{120}{133{,}2}\approx0{,}9018\\ \mathrm{T}.
  • Arredondando de forma prática, B_{\max}\approx0{,}902\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Comentários finais rápidos (motivação e checagem): o valor de B_{\max}\approx0{,}90\\ \mathrm{T} é um valor típico razoável para núcleos de transformador (abaixo de cerca de 1{,}0\\ \mathrm{T} onde perdas por histerese/fluxo de saturação se tornam problemáticas), então os números fazem sentido.

Resposta

(a) 2\\ \mathrm{V} por volta (RMS).
(b) N_2=104 voltas.
(c) B_{\max}\approx0{,}902\\ \mathrm{T}.

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