Uma seção retangular de altura \mathrm{h}=48 \mathrm{~cm} e largura \mathrm{b}=13 \mathrm{~cm} tem uma distribuição de tensões tal que as tensões normais nas fibras mais afastadas inferior \left(\sigma_{\mathrm{i}}\right) e superior \left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) valem 5 MPa e 49 MPa respectivamente.
Determinar os valores da solicitação de esforço normal e de momento fletor atuando no centroíde da seção.
Ainda não respondida Vale 0,75 ponto(s).
Forneça o valor do momento fletor:
Resposta:
Resposta
kN.cm ◯
kN.m ◯
N.m ◯

Passo 1

O enunciado dá as dimensões da seção e as tensões nas fibras extremas e pede a resultante de esforço normal e o momento fletor no centróide. Dados fornecidos:
  • Altura: h=48\\ \text{cm} (vou converter quando necessário).
  • Largura: b=13\\ \text{cm}.
  • Tensão na fibra inferior (mais afastada inferior): \sigma_{\mathrm{i}}=5\\ \text{MPa}.
  • Tensão na fibra superior (mais afastada superior): \sigma_{\mathrm{s}}=49\\ \text{MPa}.
O que se pede:
  • Valor da solicitação de esforço normal N atuando no centróide da seção.
  • Valor do momento fletor M atuando no centróide da seção.

Passo 2

Modelo e equações básicas (explicação didática):
Vamos assumir que a distribuição de tensões normais ao longo da altura é linear (caso típico para combinação de esforço normal + flexão), ou seja:
\sigma(y)=A+B\,y,
onde:
  • [y) é a coordenada vertical com origem no centróide da seção e y>0 para cima;
  • A é a componente de tensão uniforme (devida ao esforço normal N);
  • B é o gradiente de tensão (relacionado ao momento fletor M).
As fibras mais afastadas têm y=+\dfrac{h}{2} (superior) e y=-\dfrac{h}{2} (inferior). Então:
\begin{cases} \sigma_{\mathrm{s}} = A + B\left(\dfrac{h}{2}\right),\\[6pt] \sigma_{\mathrm{i}} = A - B\left(\dfrac{h}{2}\right). \end{cases}
Somando e subtraindo essas equações obtemos:
A=\dfrac{\sigma_{\mathrm{s}}+\sigma_{\mathrm{i}}}{2}, \qquad B=\dfrac{\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}}{h}.
Interpretação:
  • A\] é a tensão média (uniforme) na seção: \(A=\dfrac{N}{A_{\text{sec}}}.
  • B é o coeficiente que representa a variação linear da tensão com y; para flexão simples linear temos B=-\dfrac{M}{I} (o sinal depende da convenção de sinais; aqui usaremos a relação de módulo para achar M).]

Passo 3

Cálculo do componente uniforme A e do gradiente B (com conversões de unidades):
Converter para unidades SI (metros e pascal):
h=48\\ \text{cm}=0{,}48\\ \text{m},\qquad b=13\\ \text{cm}=0{,}13\\ \text{m}.
Tensões em pascal:
\sigma_{\mathrm{i}}=5\\ \text{MPa}=5{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa},\qquad \sigma_{\mathrm{s}}=49\\ \text{MPa}=49{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Calcule A e B:
A=\dfrac{\sigma_{\mathrm{s}}+\sigma_{\mathrm{i}}}{2}=\dfrac{49{,}0\times10^{6}+5{,}0\times10^{6}}{2}=27{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
B=\dfrac{\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}}{h}=\dfrac{49{,}0\times10^{6}-5{,}0\times10^{6}}{0{,}48} =\dfrac{44{,}0\times10^{6}}{0{,}48}=91\,666\,666{,}6667\\ \text{Pa/m}.

Passo 4

Cálculo do esforço normal N:
Área da seção retangular:
A_{\text{sec}} = b\,h = 0{,}13\cdot0{,}48 = 0{,}0624\\ \text{m}^2.
A tensão uniforme A é \dfrac{N}{A_{\text{sec}}}, logo
N = A_{\text{sec}}\cdot A = 0{,}0624\cdot27{,}0\times10^{6}=1{,}6848\times10^{6}\\ \text{N}.
Em kN:
N=1{,}6848\times10^{6}\\ \text{N}=1684{,}8\\ \text{kN}.

Passo 5

Cálculo do momento fletor M:
Primeiro o momento de inércia em relação ao eixo neutro centroidal (para retângulo, eixo horizontal pelo centróide):
I=\dfrac{b\,h^{3}}{12}=\dfrac{0{,}13\cdot(0{,}48)^{3}}{12}.
Calcule:
(0{,}48)^{3}=0{,}110592,\qquad b\,h^{3}=0{,}13\cdot0{,}110592=0{,}01437696,
I=\dfrac{0{,}01437696}{12}=0{,}00119808\\ \text{m}^4.
Relação entre B e M: para tensão de flexão linear vale \sigma_{\text{flex}}(y)=-\dfrac{M}{I}\,y. Comparando com o termo B\,y (parte variável da tensão), temos B=-\dfrac{M}{I}. Assim o módulo do momento é
|M| = |B|\,I.
Calcule:
M = B\cdot I = 91\,666\,666{,}6667\cdot0{,}00119808 = 109\,824\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Em unidades mais usuais:
M=109\,824\\ \text{N}\cdot\text{m}=109{,}824\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
(Se desejar em \text{kN}\cdot\text{cm}: M=109{,}824\\ \text{kN}\cdot\text{m}\times100=10\,982{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{cm}.)

Passo 6

Verificação rápida (checagem): reconstruir a tensão nas fibras a partir de N e M.
Fórmula de combinação:
\sigma(y)=\dfrac{N}{A_{\text{sec}}}-\dfrac{M}{I}\,y.
Em y=+\dfrac{h}{2}=+0{,}24\\ \text{m}:
\sigma\!\left(+\tfrac{h}{2}\right)=\dfrac{1{,}6848\times10^{6}}{0{,}0624}-\dfrac{109{,}824}{0{,}00119808}\cdot0{,}24\approx49{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Em y=-\tfrac{h}{2}=-0{,}24\\ \text{m}:
\sigma\!\left(-\tfrac{h}{2}\right)=\dfrac{1{,}6848\times10^{6}}{0{,}0624}-\dfrac{109{,}824}{0{,}00119808}\cdot(-0{,}24)\approx5{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Concorda com os valores dados, portanto os cálculos estão coerentes.

Resposta

N=1{,}6848\times10^{6}\\ \text{N}=1684{,}8\\ \text{kN}\newline
M=109\,824\\ \text{N}\cdot\text{m}=109{,}824\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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