Uma seção retangular de altura \mathrm{h}=48 \mathrm{~cm} e largura \mathrm{b}=13 \mathrm{~cm} tem uma distribuição de tensões tal que as tensões normais nas fibras mais afastadas inferior \left(\sigma_{\mathrm{i}}\right) e superior \left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) valem 5 MPa e 49 MPa respectivamente.
Determinar os valores da solicitação de esforço normal e de momento fletor atuando no centroíde da seção.
Ainda não respondida Vale 0,75 ponto(s).
Forneça o valor do momento fletor:
Resposta:
Resposta
kN.cm ◯
kN.m ◯
N.m ◯
Passo 1
O enunciado dá as dimensões da seção e as tensões nas fibras extremas e pede a resultante de esforço normal e o momento fletor no centróide. Dados fornecidos:
Altura: h=48\\ \text{cm} (vou converter quando necessário).
Largura: b=13\\ \text{cm}.
Tensão na fibra inferior (mais afastada inferior): \sigma_{\mathrm{i}}=5\\ \text{MPa}.
Tensão na fibra superior (mais afastada superior): \sigma_{\mathrm{s}}=49\\ \text{MPa}.
O que se pede:
Valor da solicitação de esforço normal N atuando no centróide da seção.
Valor do momento fletor M atuando no centróide da seção.
Passo 2
Modelo e equações básicas (explicação didática):
Vamos assumir que a distribuição de tensões normais ao longo da altura é linear (caso típico para combinação de esforço normal + flexão), ou seja:
\sigma(y)=A+B\,y,
onde:
[y) é a coordenada vertical com origem no centróide da seção e y>0 para cima;
A é a componente de tensão uniforme (devida ao esforço normal N);
B é o gradiente de tensão (relacionado ao momento fletor M).
As fibras mais afastadas têm y=+\dfrac{h}{2} (superior) e y=-\dfrac{h}{2} (inferior). Então:
\begin{cases} \sigma_{\mathrm{s}} = A + B\left(\dfrac{h}{2}\right),\\[6pt] \sigma_{\mathrm{i}} = A - B\left(\dfrac{h}{2}\right). \end{cases}
A\] é a tensão média (uniforme) na seção: \(A=\dfrac{N}{A_{\text{sec}}}.
B é o coeficiente que representa a variação linear da tensão com y; para flexão simples linear temos B=-\dfrac{M}{I} (o sinal depende da convenção de sinais; aqui usaremos a relação de módulo para achar M).]
Passo 3
Cálculo do componente uniforme A e do gradiente B (com conversões de unidades):
Converter para unidades SI (metros e pascal):
Relação entre B e M: para tensão de flexão linear vale \sigma_{\text{flex}}(y)=-\dfrac{M}{I}\,y. Comparando com o termo B\,y (parte variável da tensão), temos B=-\dfrac{M}{I}. Assim o módulo do momento é
|M| = |B|\,I.
Calcule:
M = B\cdot I = 91\,666\,666{,}6667\cdot0{,}00119808 = 109\,824\\ \text{N}\cdot\text{m}.