Considere uma planta de potência a vapor que produz 210 MW em um ciclo Rankine ideal. O vapor entra na turbina a 10 MPa e 500^{\circ} \mathrm{C} e é resfriado no condensador na pressão de 10 kPa . Determine:
(a) O título do vapor na saída da turbina
(b) A eficiência térmica do ciclo.
(c) A vazão mássica de vapor

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
  • Potência elétrica produzida pela planta (energia útil): 210\\ \text{MW}.
  • Ciclo: Rankine ideal (turboexpansão isentrópica, bomba com trabalho pequeno calculável por compressibilidade líquida).
  • Condições na entrada da turbina (estado 1): pressão P_1 = 10\\ \text{MPa} e temperatura T_1 = 500^\circ\mathrm{C}.
  • Condições do condensador (saída da turbina, estado 2): pressão P_2 = 10\\ \text{kPa}.
    As perguntas:
    (a) qual o título (qualidade) do vapor na saída da turbina (x_2)?
    (b) qual a eficiência térmica do ciclo (\eta_{térmica})é?
    (c) qual a vazão mássica de vapor (\dot m) necessária para produzir 210\\ \text{MW}?
Para resolver preciso de propriedades do vapor (tabelas de vapor). Peguei estes valores nas tabelas de vapor saturado e em tabela de vapor sobreaquecido (valores padrão de tabela):
  • No estado 1 (vapor sobreaquecido a P_1=10\\ \text{MPa}, T_1=500^\circ\mathrm{C}):
    • entalpia: h_1 = 3376\\ \text{kJ/kg} (valor extraído da tabela de vapor sobreaquecido).
    • entropia: s_1 = 6{,}592\\ \text{kJ/(kg·K)} (valor extraído da mesma tabela).
  • No condensador (saturado a P_2=10\\ \text{kPa}) — valores da tabela de saturação a 0{,}01\\ \text{MPa}=10\\ \text{kPa}:
    • entalpia do líquido saturado: h_f = 191{,}81\\ \text{kJ/kg}.
    • entalpia do vapor saturado: h_g = 2584{,}7\\ \text{kJ/kg}.
    • entropia do líquido saturado: s_f = 0{,}6493\\ \text{kJ/(kg·K)}.
    • entropia do vapor saturado: s_g = 8{,}1489\\ \text{kJ/(kg·K)}.
    • volume específico do líquido saturado: v_f = 0{,}00101\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Observação: usei explicitamente os números acima das tabelas de vapor para os cálculos seguintes.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula para encontrar o título x_2:
  • No ciclo Rankine ideal a expansão na turbina é isentrópica, ou seja, a entropia do fluido na saída da turbina é igual à entropia na entrada: s_2 = s_1.
  • Quando o vapor se expande até P_2 e fica no domíno bifásico (mistura líquido-vapor), a entropia específica no estado 2 é dada por s_2 = s_f + x_2 (s_g - s_f),onde x_2 é o título (fração mássica de vapor).
  • Isolando x_2: x_2 = \frac{s_2 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{s_1 - s_f}{s_g - s_f}.
Agora substuímos os valores que pegamos das tabelas:
s_1 = 6{,}592,\quad s_f = 0{,}6493,\quad s_g = 8{,}1489\quad\text{(unidades: kJ/(kg·K)).}
Calcule o numerador e denominador:
s_1 - s_f = 6{,}592 - 0{,}6493 = 5{,}9427,
s_g - s_f = 8{,}1489 - 0{,}6493 = 7{,}4996.
Portanto
x_2 = \frac{5{,}9427}{7{,}4996} = 0{,}79236\approx0{,}7924.
Interpretação: o vapor na saída da turbina tem título \,x_2\approx0{,}7924 (ou seja, cerca de 79{,}24\% de vapor e 20{,}76\% de líquido em massa).

Passo 3

Calcular a entalpia na saída da turbina h_2 usando o título x_2:
  • No regime bifásico, entalpia é h_2 = h_f + x_2 (h_g - h_f).
Substituindo:
h_f = 191{,}81,\quad h_g = 2584{,}7,\quad x_2 = 0{,}79236.
Calcule a diferença h_g-h_f = 2584{,}7 - 191{,}81 = 2392{,}89.
h_2 = 191{,}81 + 0{,}79236\cdot 2392{,}89 = 191{,}81 + 1896{,}61 = 2088{,}42\\ \text{kJ/kg}.
Agora o trabalho específico realizado pela turbina (isto é, trabalho por kg de vapor) em processo isentrópico é
w_{t} = h_1 - h_2 = 3376 - 2088{,}42 = 1287{,}58\\ \text{kJ/kg}.

Passo 4

Calcular o trabalho específico da bomba w_p e a entalpia na saída da bomba h_4:
  • Para líquidos incompressíveis a aproximação do trabalho da bomba por unidade de massa é w_p \approx v_f (P_{\text{boiler}} - P_{\text{cond}}),lembrando que v_f em m ^3/kg e P em kPa dá w_p em kJ/kg (1 kPa·m^3/kg = 1 kJ/kg).
  • Converter pressões para kPa: P_{\text{boiler}}=10\\ \text{MPa}=10000\\ \text{kPa}, P_{\text{cond}}=10\\ \text{kPa}. Diferença: \Delta P = 10000 - 10 = 9990\\ \text{kPa}.
  • Usa-se v_f = 0{,}00101\\ \text{m}^3/\text{kg}. Então w_p \approx 0{,}00101\cdot 9990 = 10{,}0899\\ \text{kJ/kg}\approx10{,}09\\ \text{kJ/kg}.
  • Entalpia após a bomba (estado 4, líquido comprimido à pressão de 10 MPa): h_4 = h_f + w_p = 191{,}81 + 10{,}0899 = 201{,}90\\ \text{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular o calor adicionado q_{in}, o trabalho líquido específico w_{net} e a eficiência térmica:
  • Calor fornecido por kg de vapor no aquecedor (caldeira): q_{in} = h_1 - h_4 = 3376 - 201{,}90 = 3174{,}10\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido específico do ciclo: w_{net} = w_t - w_p = 1287{,}58 - 10{,}09 = 1277{,}49\\ \text{kJ/kg}.
  • Eficiência térmica do ciclo (rendimento térmico): \eta_{térmica} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{1277{,}49}{3174{,}10} = 0{,}4024\approx0{,}4024.é
Em porcentagem: \eta_{térmica}\approx40{,}24\%é.
Explicação rápida (aula mini): a eficiência térmica do Rankine ideal é a razão entre o trabalho líquido obtido por kg de fluido e o calor que foi adicionado por kg no gerador de vapor. O trabalho líquido é a diferença entre o que a turbina entrega e o que a bomba consome. A bomba costuma consumir pouco em comparação com a turbina (aqui ~10 kJ/kg frente a ~1288 kJ/kg).

Passo 6

Calcular a vazão mássica necessária para produzir 210\\ \text{MW}:
  • Potência elétrica fornecida \dot W = 210\\ \text{MW} = 210\,000\\ \text{kJ/s}.
  • Como cada kg de vapor rende w_{net}=1277{,}49\\ \text{kJ/kg}, a vazão mássica necessária é \dot m = \frac{\dot W}{w_{net}} = \frac{210\,000\\ \text{kJ/s}}{1277{,}49\\ \text{kJ/kg}} = 164{,}41\\ \text{kg/s}.
Arredondando com coerência significativa: \dot m \approx 164{,}4\\ \text{kg/s}.

Resposta

(a) x_2 = 0{,}7924 (ou 79{,}24\% de vapor)
(b) \eta_{térmica} = 0{,}4024 \approx 40{,}24\%é
(c) \dot m = 164{,}4\\ \text{kg/s}

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