Uma areia apresenta índice de vazios máximo de 0,90 e índice de vazios mínimo igual a 0,57 . O peso específico dos grãos é de 26,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. De uma amostra dessa areia com teor de umidade de 3 \%, que peso deve ser tomado para a moldagem de um corpo de prova de volume igual a 1 \mathrm{dm}^{3}, para que fique com compacidade de 67 \% ? Que quantidade de água deve ser adicionada posteriormente para que a areia fique saturada?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros. Vou listar tudo de forma objetiva.
  • O que se pede:
    1. Qual o peso (massa) da amostra com teor de umidade de 3\% que deve ser tomada para moldar um corpo de prova de volume 1\\ \mathrm{dm}^{3} e compacidade de 67\%.
    2. Que quantidade de água deve ser adicionada posteriormente para que a areia fique saturada ( S=100\%).
  • Dados fornecidos:
    • Índice de vazios máximo: e_{\max}=0,90.
    • Índice de vazios mínimo: e_{\min}=0,57.
    • Peso específico dos grãos (peso por volume dos sólidos): \gamma_s=26{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
    • Teor de umidade inicial: w=3\%=0{,}03 (definição usual: w=m_w/m_s, massa da água sobre massa dos sólidos).
    • Volume do corpo de prova: V=1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Compacidade (densidade relativa) desejada: D_r=67\%=0{,}67.

Passo 2

Entender a relação entre compacidade (densidade relativa) e índice de vazios: a densidade relativa D_r é, por definição,
D_r=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde:
  • e é o índice de vazios da amostra desejada (é o que queremos obter a partir de D_r);
  • e_{\max} e e_{\min} são dados.
Vamos isolar e da fórmula para encontrar o índice de vazios correspondente a D_r=0{,}67:
e=e_{\max}-D_r\,(e_{\max}-e_{\min}).
Agora aplico os números:
e=0{,}90-0{,}67\,(0{,}90-0{,}57)=0{,}90-0{,}67\cdot0{,}33=0{,}90-0{,}2211=0{,}6789.
Portanto o índice de vazios da amostra deve ser \,e\approx0{,}6789.

Passo 3

Relacionar volumes sólidos, vazios e volume total. Por definição:
e=\frac{V_v}{V_s},\qquad V=V_s+V_v=V_s(1+e),
onde:
  • V_s é o volume dos sólidos,
  • V_v é o volume dos vazios,
  • V é o volume total do corpo de prova ( 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}).
Isolando V_s:
V_s=\frac{V}{1+e}.
Substituo os valores:
V_s=\frac{1\times10^{-3}}{1+0{,}6789}=\frac{1\times10^{-3}}{1{,}6789}=0{,}00059550\\ \mathrm{m}^{3}\quad(\text{aprox.}).
Depois V_v=e\,V_s:
V_v=0{,}6789\cdot0{,}00059550=0{,}00040396\\ \mathrm{m}^{3}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular a massa dos sólidos m_s. Do dado \gamma_s temos a densidade dos sólidos \rho_s por
\rho_s=\frac{\gamma_s}{g},
onde g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2. Assim
\rho_s=\frac{26{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2}=\frac{26500\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2}=2701{,}33\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\quad(\text{aprox.}).
A massa de sólidos é
m_s=\rho_s\,V_s=2701{,}33\cdot0{,}00059550=1{,}6079\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
Expliquei: m_s é a massa de grãos secos que ocuparão V_s no corpo de prova.

Passo 5

Calcular a massa de água já presente quando o teor de umidade é w=0{,}03. Pela definição
m_{w,i}=w\;m_s=0{,}03\cdot1{,}6079=0{,}04824\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
Portanto a massa total da amostra úmida (com 3\% de umidade) que deve ser tomada é
m_{\text{úmida}}=m_s+m_{w,i}=1{,}6079+0{,}04824=1{,}6561\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).ú
Isso responde a primeira questão: a massa de material úmido a ser tomada para preencher 1\\ \mathrm{dm}^3 com a compacidade pedida.

Passo 6

Calcular a água necessária para saturar a amostra. Saturação total significa S=1, logo todo o volume de vazios V_v deve estar preenchido por água. A massa de água necessária para saturar é
m_{w,\text{sat}}=\rho_w\,V_v,
onde \rho_w=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}. Assim
m_{w,\text{sat}}=1000\cdot0{,}00040396=0{,}40396\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
Já havia m_{w,i}=0{,}04824\\ \mathrm{kg}. Logo a quantidade de água a ser adicionada é
\Delta m_w=m_{w,\text{sat}}-m_{w,i}=0{,}40396-0{,}04824=0{,}35572\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
Em gramas: \Delta m_w\approx355{,}7\\ \mathrm{g}. Observação prática: adicionar essa massa de água (ou volume \approx0{,}3557\\ \mathrm{L}) e homogeneizar para atingir a saturação.

Resposta

m_{\text{amostra úmida}}=1{,}656\\ \mathrm{kg}ú
\Delta m_{\text{água a adicionar}}=0{,}356\\ \mathrm{kg}á

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