Para determinar o índice de compacidade relativa de uma areia que apresentava, no estado natural, uma massa específica seca de 1,71 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}, foram realizados ensaios para determinar seus estados de máxima e mínima compacidade. Para determinar a máxima compacidade, adotou-se um dos procedimentos da Norma Brasileira NBR12051/ 1991 da ABNT. A areia foi colocada num cilindro do ensaio de compactação, que tem 10 cm de diâmetro e 12,76 cm de altura (volume de 1 \mathrm{dm}^{3} ), e o conjunto foi fixado no vibrador do ensaio de peneiramento, com uma sobrecarga de 10 kg . Após a vibração, determinou-se que a areia ficou com uma massa específica seca de 1,78 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}. Para a determinação da mínima compacidade, a areia, previamente seca em estufa, foi colocada dentro do molde, por meio de um funil, de modo que a altura de queda nunca ultrapassasse 1 cm . Este é um dos procedimentos recomendados pela NBR 12004/1990. O ensaio indicou uma massa específica seca de 1,49 \mathrm{~kg} / \mathrm{dm}^{3}. Determine o índice de compacidade relativa.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos em massa específica seca):
  • Massa específica seca no estado natural: \gamma_d = 1,71\\ \mathrm{kg/dm^3}.
  • Massa específica seca na máxima compacidade (após vibração): \gamma_{d,\max}=1,78\\ \mathrm{kg/dm^3}.
  • Massa específica seca na mínima compacidade (após deposição por queda): \gamma_{d,\min}=1,49\\ \mathrm{kg/dm^3}.
O que se pede:
  • Determinar o índice de compacidade relativa (índice de compacidade relativa = índice de compacidade / densidade relativa), normalmente denotado por D_r ou I_R, para a areia com os dados acima.

Passo 2

Definição e ideia física (passo didático): o índice de compacidade relativa mede quão “densa” está a areia em relação aos extremos possível (mais frouxa e mais densa). A definição clássica é feita em termos dos índices de vazios:
D_r = \frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde:
  • e é o índice de vazios da amostra natural;
  • e_{\max} é o índice de vazios correspondente à condição mais frouxa (mínima massa específica seca);
  • e_{\min} é o índice de vazios correspondente à condição mais densa (máxima massa específica seca).
Vou explicar o que é o índice de vazios e: é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos, portanto é adimensional e cresce quando o solo fica mais frouxo.

Passo 3

Relação entre índice de vazios e massa específica seca (fórmula e significado das variáveis): para um solo granulado com massa específica dos grãos (gravidade específica) G_s e densidade da água \rho_w, a relação entre e e \gamma_d é
e=\frac{G_s\,\rho_w}{\gamma_d}-1.
Aqui:
  • G_s é a gravidade específica dos grãos (adimensional);
  • \rho_w é a massa específica da água (para as unidades usadas, \rho_w\approx 1{,}00\\ \mathrm{kg/dm^3});
  • \gamma_d é a massa específica seca do solo.
Observação importante e útil para a prova: ao usar a definição de D_r e substituir e por essa expressão, o fator G_s\,\rho_w aparece tanto no numerador quanto no denominador e se cancela — ou seja, não é necessário conhecer G_s para calcular D_r a partir das massas específicas secas. Isso é prático quando o enunciado não fornece G_s.

Passo 4

Derivação algébrica que dá a fórmula prática em termos das massas específicas secas (passo-a-passo):
Substituindo e=\dfrac{G_s\rho_w}{\gamma_d}-1 nas três quantidades da definição, obtém-se
e_{\max}=\frac{G_s\rho_w}{\gamma_{d,\min}}-1,\qquad e=\frac{G_s\rho_w}{\gamma_{d}}-1,\qquad e_{\min}=\frac{G_s\rho_w}{\gamma_{d,\max}}-1.
Então
e_{\max}-e = G_s\rho_w\!\left(\frac{1}{\gamma_{d,\min}}-\frac{1}{\gamma_d}\right)
e
e_{\max}-e_{\min} = G_s\rho_w\!\left(\frac{1}{\gamma_{d,\min}}-\frac{1}{\gamma_{d,\max}}\right).
Ao formar a razão D_r=(e_{\max}-e)/(e_{\max}-e_{\min}) o termo G_s\rho_w cancela, ficando a expressão exata em termos das reciprocais das massas específicas:
\boxed{\,D_r=\frac{\dfrac{1}{\gamma_{d,\min}}-\dfrac{1}{\gamma_d}}{\dfrac{1}{\gamma_{d,\min}}-\dfrac{1}{\gamma_{d,\max}}}\,}
Essa é a fórmula correta (derivada da definição por índices de vazios) e usa somente as massas específicas secas fornecidas.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os valores dados (cálculos detalhados, passo a passo):
Calcular as reciprocais (com arredondamento adequado para contas manuais):
\frac{1}{\gamma_{d,\min}}=\frac{1}{1{,}49}\approx 0{,}6711409,
\frac{1}{\gamma_d}=\frac{1}{1{,}71}\approx 0{,}5847953,
\frac{1}{\gamma_{d,\max}}=\frac{1}{1{,}78}\approx 0{,}5617978.
Calcular a diferença do numerador:
\frac{1}{\gamma_{d,\min}}-\frac{1}{\gamma_d}\approx 0{,}6711409-0{,}5847953=0{,}0863456.
Calcular a diferença do denominador:
\frac{1}{\gamma_{d,\min}}-\frac{1}{\gamma_{d,\max}}\approx 0{,}6711409-0{,}5617978=0{,}1093431.
Dividindo numerador pelo denominador:
D_r \approx \frac{0{,}0863456}{0{,}1093431}\approx 0{,}7898.

Passo 6

Interpretação do resultado e arredondamento final: o índice de compacidade relativa encontrado é D_r\approx 0{,}7898, ou em percentagem,
D_r \approx 78{,}98\%\approx 79{,}0\%.
Isso significa que a areia está próxima de 79% do caminho entre a condição mais frouxa e a mais densa — está relativamente densa.

Resposta

D_r \approx 0{,}790 \;(\text{ou }79{,}0\%)

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