a) Argumente para mostrar que 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6};
b) Se \sum_{x=5}^{n+5} x^{2}=A n^{3}+B n^{2}+C n+D, então determine o valor de B e de A+B+C+D.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • (a) Mostrar que 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
  • (b) Sabendo que \sum_{x=5}^{n+5} x^{2}=A n^{3}+B n^{2}+C n+D, determinar o valor de B e o valor de A+B+C+D.
Informações relevantes dadas:
  • Para (a) temos a soma dos quadrados dos inteiros de 1 até n.
  • Para (b) temos a soma dos quadrados dos inteiros de 5 até n+5 e sabemos que isso pode ser escrito como um polinômio cúbico em n: A n^{3}+B n^{2}+C n+D.

Passo 2

Estratégia para (a) — ideia do método (sem resolver ainda):
  • Vou usar prova por indução matemática. A indução consiste em dois passos: base (verificar que a fórmula vale para n=1) e passo indutivo (assumir que vale para um n genérico e mostrar que então vale para n+1).
  • A prova por indução é apropriada porque a soma para n+1 difere da soma para n apenas por um termo a mais, (n+1)^{2}, então a demonstração segue naturalmente somando esse termo à hipótese indutiva.

Passo 3

Base da indução para (a):
  • Verifico a fórmula para n=1.
  • A soma do lado esquerdo é 1^{2}=1.
  • Pelo lado direito, \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} para n=1 é \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1.
  • Portanto a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese indutiva para (a):
  • Suponho que para algum n\ge 1 vale 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
  • Vou mostrar que dessa hipótese segue que 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}.

Passo 5

Passo indutivo: somando (n+1)^{2} e manipulando (detalhes algébricos):
  • Começo por somar (n+1)^{2} à hipótese: 1^{2}+\cdots+n^{2}+(n+1)^{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}.
  • Coloco em fator comum (n+1) e escrevo com denominador 6: =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^{2}}{6} =\frac{(n+1)\big(n(2n+1)+6(n+1)\big)}{6}.
  • Desenvolvo o parêntese do numerador: n(2n+1)+6(n+1)=2n^{2}+n+6n+6=2n^{2}+7n+6.
  • Agora fatoro o polinômio quadrático 2n^{2}+7n+6. Procuro fatores inteiros; testar (2n+3)(n+2): (2n+3)(n+2)=2n^{2}+4n+3n+6=2n^{2}+7n+6,que é exatamente o que eu quero. Portanto 2n^{2}+7n+6=(2n+3)(n+2).
  • Substituindo de volta: 1^{2}+\cdots+(n+1)^{2} =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
  • Note que 2n+3=2(n+1)+1, logo a expressão é exatamente a fórmula para n+1: \frac{(n+1)\big((n+1)+1\big)\big(2(n+1)+1\big)}{6}.

Passo 6

Conclusão da indução para (a) e observação prática:
  • Como a fórmula é verdadeira para n=1 (base) e se valer para n então vale para n+1 (passo indutivo), por indução matemática a fórmula 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}vale para todo inteiro n\ge 1.
  • Exemplo rápido para checar: para n=3 temos 1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14 e a fórmula dá \dfrac{3\cdot 4\cdot 7}{6}=\dfrac{84}{6}=14.

Passo 7

Resolver (b): transformar a soma em diferença de somas conhecidas:
  • A soma pedida é \sum_{x=5}^{n+5} x^{2} = \sum_{k=1}^{n+5} k^{2} - \sum_{k=1}^{4} k^{2}.
  • Pelo item (a) aplico a fórmula de soma dos quadrados: \sum_{k=1}^{n+5} k^{2} = \frac{(n+5)(n+6)(2(n+5)+1)}{6} =\frac{(n+5)(n+6)(2n+11)}{6}.
  • E \sum_{k=1}^{4} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=1+4+9+16=30.

Passo 8

Expandir \dfrac{(n+5)(n+6)(2n+11)}{6} com cuidado para obter coeficientes:
  • Primeiro multiplico (n+5)(n+6): (n+5)(n+6)=n^{2}+11n+30.
  • Multiplico (n^{2}+11n+30)(2n+11). Faço distribuição termo a termo: n^{2}(2n+11)=2n^{3}+11n^{2},
11n(2n+11)=22n^{2}+121n,
30(2n+11)=60n+330.
  • Somando tudo: 2n^{3}+(11n^{2}+22n^{2})+(121n+60n)+330 =2n^{3}+33n^{2}+181n+330.
  • Portanto \sum_{k=1}^{n+5} k^{2}=\frac{2n^{3}+33n^{2}+181n+330}{6}.

Passo 9

Subtrair \sum_{k=1}^{4} k^{2}=30 e identificar A,B,C,D:
  • Então \sum_{x=5}^{n+5} x^{2}=\frac{2n^{3}+33n^{2}+181n+330}{6}-30.
  • Escrevo 30 com denominador 6: 30=\dfrac{180}{6}. Logo \sum_{x=5}^{n+5} x^{2}=\frac{2n^{3}+33n^{2}+181n+330-180}{6} =\frac{2n^{3}+33n^{2}+181n+150}{6}.
  • Dividindo cada termo por 6 para colocar na forma A n^{3}+B n^{2}+C n+D: \sum_{x=5}^{n+5} x^{2}=\frac{2}{6}n^{3}+\frac{33}{6}n^{2}+\frac{181}{6}n+\frac{150}{6}.
  • Simplifico frações: A=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad B=\frac{33}{6}=\frac{11}{2},\qquad C=\frac{181}{6},\qquad D=\frac{150}{6}=25.

Passo 10

Calcular A+B+C+D:
  • Faço a soma das frações com denominador comum 6: A+B+C+D=\frac{2}{6}+\frac{33}{6}+\frac{181}{6}+\frac{150}{6}=\frac{2+33+181+150}{6}.
  • Somando numeradores: 2+33+181+150=366. Assim A+B+C+D=\frac{366}{6}=61.

Resposta

\displaystyle B=\frac{11}{2}
\displaystyle A+B+C+D=61

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