a) Argumente para mostrar que
;
b) Se
, então determine o valor de
e de
.
b) Se
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
- (a) Mostrar que
- (b) Sabendo que
determinar o valor de e o valor de .
Informações relevantes dadas:
- Para (a) temos a soma dos quadrados dos inteiros de
até . - Para (b) temos a soma dos quadrados dos inteiros de
até e sabemos que isso pode ser escrito como um polinômio cúbico em : .
Passo 2
Estratégia para (a) — ideia do método (sem resolver ainda):
- Vou usar prova por indução matemática. A indução consiste em dois passos: base (verificar que a fórmula vale para
) e passo indutivo (assumir que vale para um genérico e mostrar que então vale para ). - A prova por indução é apropriada porque a soma para
difere da soma para apenas por um termo a mais, , então a demonstração segue naturalmente somando esse termo à hipótese indutiva.
Passo 3
Base da indução para (a):
- Verifico a fórmula para
. - A soma do lado esquerdo é
. - Pelo lado direito,
para é - Portanto a fórmula é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese indutiva para (a):
- Suponho que para algum
vale - Vou mostrar que dessa hipótese segue que
Passo 5
Passo indutivo: somando
e manipulando (detalhes algébricos):
- Começo por somar
à hipótese: - Coloco em fator comum
e escrevo com denominador : - Desenvolvo o parêntese do numerador:
- Agora fatoro o polinômio quadrático
. Procuro fatores inteiros; testar : que é exatamente o que eu quero. Portanto - Substituindo de volta:
- Note que
, logo a expressão é exatamente a fórmula para :
Passo 6
Conclusão da indução para (a) e observação prática:
- Como a fórmula é verdadeira para
(base) e se valer para então vale para (passo indutivo), por indução matemática a fórmula vale para todo inteiro . - Exemplo rápido para checar: para
temos e a fórmula dá .
Passo 7
Resolver (b): transformar a soma em diferença de somas conhecidas:
- A soma pedida é
- Pelo item (a) aplico a fórmula de soma dos quadrados:
- E
.
Passo 8
Expandir
com cuidado para obter coeficientes:
- Primeiro multiplico
: - Multiplico
. Faço distribuição termo a termo:
- Somando tudo:
- Portanto
Passo 9
Subtrair
e identificar
:
- Então
- Escrevo
com denominador : . Logo - Dividindo cada termo por
para colocar na forma : - Simplifico frações:
Passo 10
Calcular
:
- Faço a soma das frações com denominador comum
: - Somando numeradores:
. Assim