Ortega y Gasset escreveu, em um certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior, mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Se ele começou a escrever no dia 1 de janeiro, em que dia esse grande escritor terminou o livro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- No dia inicial (dia 1) Ortega escreveu
linhas. - A partir desse dia, em cada dia ele escreve tantas linhas quantas no dia anterior mais
linhas (ou seja, a quantidade diária aumenta sempre em ). - O livro tem
páginas, cada página com linhas. - Ele começou a escrever em
de janeiro.
Pergunta: em que dia (data) ele terminou o livro?
Passo 2
Vamos entender o padrão de escrita: é uma progressão aritmética (PA). Explico o que é isso:
- Uma PA é uma sequência onde cada termo após o primeiro é obtido somando uma diferença fixa ao termo anterior.
- Aqui o primeiro termo (linhas escritas no primeiro dia) é
. - A diferença comum é
(ele aumenta linhas por dia). - O termo geral (linhas escritas no dia
) é dado por
Nessa fórmula:
é o número de linhas no dia
,
é o primeiro termo,
é a razão, e
é o número do dia contado desde o início.
Passo 3
Calcular quantas linhas são necessárias no total para completar o livro:
Passo 4
Precisamos achar o menor
tal que a soma dos
primeiros dias seja pelo menos
. A soma dos
primeiros termos de uma PA é dada por
Também podemos escrever
por
e obter uma forma fechada. Substituindo
e
:
Substituindo em
:
Agora simplifico a expressão passo a passo:
Passo 5
Queremos o menor
com
. Primeiro igualo para achar quando atinge exatamente
:
Multiplico ambos os lados por
e divido por
:
Isso dá a equação quadrática
Calculo o discriminante
:
Como
, as raízes são
A raiz positiva é
Passo 6
Como
resolve a igualdade, isso significa que exatamente após
dias ele terá escrito
linhas. Conferindo rapidamente com outro método: o décimo termo é
a média do primeiro e décimo termo é
e a soma é essa média vezes
:
confirmando que com
dias o livro fica exatamente completo.
Passo 7
Ele começou em
de janeiro, que é o dia
. O décimo dia a partir daí é
de janeiro. Portanto ele terminou em
de janeiro.
Resposta
10 de janeiro