Ortega y Gasset escreveu, em um certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior, mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Se ele começou a escrever no dia 1 de janeiro, em que dia esse grande escritor terminou o livro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • No dia inicial (dia 1) Ortega escreveu 20 linhas.
  • A partir desse dia, em cada dia ele escreve tantas linhas quantas no dia anterior mais 5 linhas (ou seja, a quantidade diária aumenta sempre em 5).
  • O livro tem 17 páginas, cada página com 25 linhas.
  • Ele começou a escrever em 1 de janeiro.
    Pergunta: em que dia (data) ele terminou o livro?

Passo 2

Vamos entender o padrão de escrita: é uma progressão aritmética (PA). Explico o que é isso:
  • Uma PA é uma sequência onde cada termo após o primeiro é obtido somando uma diferença fixa ao termo anterior.
  • Aqui o primeiro termo (linhas escritas no primeiro dia) é a_1 = 20.
  • A diferença comum é d = 5 (ele aumenta 5 linhas por dia).
  • O termo geral (linhas escritas no dia n) é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d.
Nessa fórmula: a_n é o número de linhas no dia n, a_1 é o primeiro termo, d é a razão, e n é o número do dia contado desde o início.

Passo 3

Calcular quantas linhas são necessárias no total para completar o livro:
\text{total de linhas} = 17 \times 25 = 425.

Passo 4

Precisamos achar o menor n tal que a soma dos n primeiros dias seja pelo menos 425. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por
S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr).
Também podemos escrever a_n por a_1 + (n-1)d e obter uma forma fechada. Substituindo a_1=20 e d=5:
a_n = 20 + (n-1)\cdot 5.
Substituindo em S_n:
S_n = \frac{n}{2}\bigl(20 + [20 + (n-1)\cdot 5]\bigr)
Agora simplifico a expressão passo a passo:
S_n = \frac{n}{2}\bigl(40 + 5(n-1)\bigr)
S_n = \frac{n}{2}\bigl(40 + 5n -5\bigr) = \frac{n}{2}\bigl(5n +35\bigr)
S_n = \frac{5n(n+7)}{2}.

Passo 5

Queremos o menor n com S_n \ge 425. Primeiro igualo para achar quando atinge exatamente 425:
\frac{5n(n+7)}{2} = 425.
Multiplico ambos os lados por 2 e divido por 5:
n(n+7) = 170.
Isso dá a equação quadrática
n^2 + 7n - 170 = 0.
Calculo o discriminante \Delta:
\Delta = 7^2 - 4\cdot 1 \cdot (-170) = 49 + 680 = 729.
Como \sqrt{729} = 27, as raízes são
n = \frac{-7 \pm 27}{2}.
A raiz positiva é
n = \frac{-7 + 27}{2} = \frac{20}{2} = 10.

Passo 6

Como n=10 resolve a igualdade, isso significa que exatamente após 10 dias ele terá escrito 425 linhas. Conferindo rapidamente com outro método: o décimo termo é
a_{10} = 20 + 9\cdot 5 = 20 + 45 = 65,
a média do primeiro e décimo termo é (20+65)/2 = 42{,}5 e a soma é essa média vezes 10:
S_{10} = 42{,}5 \times 10 = 425,
confirmando que com 10 dias o livro fica exatamente completo.

Passo 7

Ele começou em 1 de janeiro, que é o dia 1. O décimo dia a partir daí é 10 de janeiro. Portanto ele terminou em 10 de janeiro.

Resposta

10 de janeiro

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