- Arnaldo, trabalhando sozinho, termina um trabalho em 6 dias. Bernardo, também trabalhando sozinho, termina o mesmo trabalho em 12 dias. Se ambos trabalhares juntos, então em quantos dias terminarão o trabalho?
a) 3 dias
b) 4 dias
c) 4,5 dias
d) 5 dias
a) 3 dias
b) 4 dias
c) 4,5 dias
d) 5 dias
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
-
Dados:
- Arnaldo, trabalhando sozinho, termina o trabalho em
dias. - Bernardo, trabalhando sozinho, termina o trabalho em
dias.
- Arnaldo, trabalhando sozinho, termina o trabalho em
-
Pergunta:
- Se Arnaldo e Bernardo trabalharem juntos, em quantos dias terminarão o trabalho?
Passo 2
Vamos traduzir o problema para a linguagem de “trabalho por dia” (taxas). É comum modelar “um trabalho inteiro” como quantidade
. Então:
- Seja
o trabalho total; vamos tomar (ou seja, “um trabalho”). - Definimos a taxa de trabalho de cada pessoa como a fração do trabalho que ela faz por dia.
Agora introduzo as taxas:
-
A taxa de Arnaldo (fração do trabalho que Arnaldo faz por dia) éporque Arnaldo completa
trabalho em dias, então em cada dia faz do trabalho. -
A taxa de Bernardo éporque Bernardo completa
trabalho em dias, então em cada dia faz do trabalho.
Explicação curta:
e
são “trabalhos por dia”. Se alguém faz
por dia, em 6 dias fará
.
Passo 3
Quando duas pessoas trabalham juntas, suas produções por dia somam-se (cada dia a contribuição de cada um se soma), portanto a taxa conjunta
é
Isto representa a fração do trabalho que ambos, juntos, completam em um dia.
Breve justificativa: se num dia Arnaldo faz
e Bernardo faz
, então juntos no mesmo dia fazem
. Repetindo isso por dias, a soma diária dá o total acumulado.
Passo 4
Calculemos
usando os valores que já determinámos:
Para somar as frações, coloque denominador comum (o mínimo múltiplo comum de
e
é
):
então
Logo, juntos eles fazem
do trabalho por dia.
Passo 5
Se a taxa conjunta é
trabalho por dia, o tempo
(em dias) necessário para completar o trabalho inteiro
é dado por
Substituindo
,
Isto significa que Arnaldo e Bernardo, trabalhando juntos, terminarão o trabalho em
dias.
Passo 6
Cheque rápido (controle de consistência): em
dias Arnaldo faz
do trabalho e Bernardo faz
. Somando
. Perfeito — completam o trabalho.
Resposta
b)