1. Arnaldo, trabalhando sozinho, termina um trabalho em 6 dias. Bernardo, também trabalhando sozinho, termina o mesmo trabalho em 12 dias. Se ambos trabalhares juntos, então em quantos dias terminarão o trabalho?
    a) 3 dias
    b) 4 dias
    c) 4,5 dias
    d) 5 dias

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados:
    • Arnaldo, trabalhando sozinho, termina o trabalho em \,6 dias.
    • Bernardo, trabalhando sozinho, termina o trabalho em \,12 dias.
  • Pergunta:
    • Se Arnaldo e Bernardo trabalharem juntos, em quantos dias terminarão o trabalho?

Passo 2

Vamos traduzir o problema para a linguagem de “trabalho por dia” (taxas). É comum modelar “um trabalho inteiro” como quantidade 1. Então:
  • Seja W o trabalho total; vamos tomar W=1 (ou seja, “um trabalho”).
  • Definimos a taxa de trabalho de cada pessoa como a fração do trabalho que ela faz por dia.
Agora introduzo as taxas:
  • A taxa de Arnaldo (fração do trabalho que Arnaldo faz por dia) é
    r_A = \frac{1}{6},
    porque Arnaldo completa 1 trabalho em 6 dias, então em cada dia faz 1/6 do trabalho.
  • A taxa de Bernardo é
    r_B = \frac{1}{12},
    porque Bernardo completa 1 trabalho em 12 dias, então em cada dia faz 1/12 do trabalho.
Explicação curta: r_A e r_B são “trabalhos por dia”. Se alguém faz 1/6 por dia, em 6 dias fará 6\times(1/6)=1.

Passo 3

Quando duas pessoas trabalham juntas, suas produções por dia somam-se (cada dia a contribuição de cada um se soma), portanto a taxa conjunta r é
r = r_A + r_B.
Isto representa a fração do trabalho que ambos, juntos, completam em um dia.
Breve justificativa: se num dia Arnaldo faz r_A e Bernardo faz r_B, então juntos no mesmo dia fazem r_A+r_B. Repetindo isso por dias, a soma diária dá o total acumulado.

Passo 4

Calculemos r usando os valores que já determinámos:
r = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}.
Para somar as frações, coloque denominador comum (o mínimo múltiplo comum de 6 e 12 é 12):
\frac{1}{6} = \frac{2}{12},
então
r = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.
Logo, juntos eles fazem \tfrac{1}{4} do trabalho por dia.

Passo 5

Se a taxa conjunta é \tfrac{1}{4} trabalho por dia, o tempo t (em dias) necessário para completar o trabalho inteiro W=1 é dado por
t = \frac{1}{r}.
Substituindo r=\tfrac{1}{4},
t = \frac{1}{\tfrac{1}{4}} = 4.
Isto significa que Arnaldo e Bernardo, trabalhando juntos, terminarão o trabalho em \,4 dias.

Passo 6

Cheque rápido (controle de consistência): em 4 dias Arnaldo faz 4\times\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} do trabalho e Bernardo faz 4\times\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}. Somando \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1. Perfeito — completam o trabalho.

Resposta

b) 4\\ \text{dias}

Exercícios relacionados