1. Para encher um reservatório de água dispõe-se de duas torneiras de entrada que o enchem em 8 h e 6 h, respectivamente. Para esvaziá-lo, dispõe-se de uma terceira torneira de saída que o esvazia completamente em 4 h . Estando o reservatório totalmente vazio e as três torneiras abertas simultaneamente, quantas horas (h) serão necessárias para enchê-lo?
    a) 18 h
    b) 22 h
    c) 26 h
    d) 24 h

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Torneira 1 enche o reservatório em \,8\\ \text{h}.
  • Torneira 2 enche o reservatório em \,6\\ \text{h}.
  • Torneira 3 esvazia o reservatório em \,4\\ \text{h}.
  • O reservatório começa totalmente vazio e as três torneiras são abertas simultaneamente.
O que é pedido:
  • Determinar quantas horas serão necessárias para encher o reservatório com as três torneiras abertas ao mesmo tempo.

Passo 2

Entendendo o conceito de “vazão” ou “taxa”:
Quando se diz que uma torneira enche o reservatório em \,T\\ \text{h}, isso significa que ela coloca \tfrac{1}{T} do reservatório por hora. A ideia é tratar o reservatório como uma unidade (um “todo” = 1). Exemplos rápidos e intuitivos:
  • Se uma torneira enche em \,2\\ \text{h}, sua taxa é \tfrac{1}{2} reservatório por hora; em uma hora ela enche metade.
  • Se outra esvazia em \,5\\ \text{h}, sua taxa é -\tfrac{1}{5} reservatório por hora (negativa porque retira água).
Portanto, para cada torneira calcula-se a fração do reservatório que ela faz por hora e somam-se (com sinal) as taxas para obter a taxa líquida.

Passo 3

Calcular as taxas individuais (em reservatório por hora):
  • Torneira 1: \displaystyle r_1=\tfrac{1}{8}.
  • Torneira 2: \displaystyle r_2=\tfrac{1}{6}.
  • Torneira 3 (saída): \displaystyle r_3=-\tfrac{1}{4} (negativa porque esvazia).

Passo 4

A taxa líquida com as três abertas é a soma das três taxas:
r_{\text{líquida}}=r_1 + r_2 + r_3 = \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{4}.í

Passo 5

Somar as frações encontrando um denominador comum (o mínimo comum múltiplo de 8,6,4 é 24):
\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{24},\qquad \tfrac{1}{6}=\tfrac{4}{24},\qquad \tfrac{1}{4}=\tfrac{6}{24}.
Logo
r_{\text{líquida}}=\tfrac{3}{24}+\tfrac{4}{24}-\tfrac{6}{24}=\tfrac{1}{24}.í

Passo 6

Interpretando o resultado: a taxa líquida \,r_{\text{líquida}}=\tfrac{1}{24}í significa que, a cada hora, entra \tfrac{1}{24} do reservatório. Para encher todo o reservatório (que vale 1) precisa-se do tempo recíproco:
t=\frac{1}{r_{\text{líquida}}}=\frac{1}{\tfrac{1}{24}}=24\\ \text{h}.í
Verificação rápida por contagem em 24\\ \text{h}:
  • Torneira 1 fornece 24\cdot\tfrac{1}{8}=3 reservatórios.
  • Torneira 2 fornece 24\cdot\tfrac{1}{6}=4 reservatórios.
  • Torneira 3 retira 24\cdot\tfrac{1}{4}=6 reservatórios.
    Total líquido em 24\\ \text{h}: 3+4-6=1 reservatório — exatamente cheio.

Passo 7

Resumo didático e dica rápida para a prova: sempre transforme “enche em T horas” em taxa \tfrac{1}{T}. Some as taxas (retiradas com sinal negativo). Se a taxa líquida for positiva, o tempo para encher é o recíproco dessa taxa; se for negativa, o reservatório jamais enche. Vai dar certo — respira fundo e lembra desse passo-a-passo na prova!

Resposta

d) 24 h

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