- Para encher um reservatório de água dispõe-se de duas torneiras de entrada que o enchem em 8 h e 6 h, respectivamente. Para esvaziá-lo, dispõe-se de uma terceira torneira de saída que o esvazia completamente em 4 h . Estando o reservatório totalmente vazio e as três torneiras abertas simultaneamente, quantas horas (h) serão necessárias para enchê-lo?
a) 18 h
b) 22 h
c) 26 h
d) 24 h
a) 18 h
b) 22 h
c) 26 h
d) 24 h
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Torneira 1 enche o reservatório em
. - Torneira 2 enche o reservatório em
. - Torneira 3 esvazia o reservatório em
. - O reservatório começa totalmente vazio e as três torneiras são abertas simultaneamente.
O que é pedido:
- Determinar quantas horas serão necessárias para encher o reservatório com as três torneiras abertas ao mesmo tempo.
Passo 2
Entendendo o conceito de “vazão” ou “taxa”:
Quando se diz que uma torneira enche o reservatório em , isso significa que ela coloca
do reservatório por hora. A ideia é tratar o reservatório como uma unidade (um “todo” = 1). Exemplos rápidos e intuitivos:
Quando se diz que uma torneira enche o reservatório em
- Se uma torneira enche em
, sua taxa é reservatório por hora; em uma hora ela enche metade. - Se outra esvazia em
, sua taxa é reservatório por hora (negativa porque retira água).
Portanto, para cada torneira calcula-se a fração do reservatório que ela faz por hora e somam-se (com sinal) as taxas para obter a taxa líquida.
Passo 3
Calcular as taxas individuais (em reservatório por hora):
- Torneira 1:
. - Torneira 2:
. - Torneira 3 (saída):
(negativa porque esvazia).
Passo 4
A taxa líquida com as três abertas é a soma das três taxas:
Passo 5
Somar as frações encontrando um denominador comum (o mínimo comum múltiplo de
é
):
Logo
Passo 6
Interpretando o resultado: a taxa líquida
significa que, a cada hora, entra
do reservatório. Para encher todo o reservatório (que vale
) precisa-se do tempo recíproco:
Verificação rápida por contagem em
:
- Torneira 1 fornece
reservatórios. - Torneira 2 fornece
reservatórios. - Torneira 3 retira
reservatórios.
Total líquido em: reservatório — exatamente cheio.
Passo 7
Resumo didático e dica rápida para a prova: sempre transforme “enche em
horas” em taxa
. Some as taxas (retiradas com sinal negativo). Se a taxa líquida for positiva, o tempo para encher é o recíproco dessa taxa; se for negativa, o reservatório jamais enche. Vai dar certo — respira fundo e lembra desse passo-a-passo na prova!
Resposta
d) 24 h