Um aro possui raio 0,50 m e massa 2,0 kg. Qual seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular a seu plano, passando por um ponto de sua superfície externa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um aro com raio de 0,50,m e massa de 2,0,kg. Precisamos descobrir o momento de inércia desse aro em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do aro e passa por um ponto na sua superfície externa. Vamos usar conceitos de física de rotação e a fórmula do momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é girar o objeto.

Passo 3

Para encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa, podemos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos). Esse teorema nos diz que:
I = Icm + m times d^2
Onde:
  • I é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
  • Icm é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa.
  • m é a massa do objeto.
  • d é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Sabemos que para um aro (ou anel) com raio R, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro ( Icm) é:
Icm = m times R^2
Vamos calcular isso primeiro.
Icm = 2,0,kg times (0,50,m)^2 = 2,0 times 0,25 = 0,5,kg cdot m^2

Passo 5

Agora, precisamos aplicar o Teorema de Steiner para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo que passa por um ponto na superfície externa do aro. A distância d entre o centro do aro e a superfície é igual ao raio R:
d = 0,50,m

Passo 6

Aplicando a fórmula do Teorema de Steiner:
I = Icm + m times d^2 = 0,5,kg cdot m^2 + 2,0,kg times (0,50,m)^2
Calculando:
I = 0,5 + 2,0 times 0,25 = 0,5 + 0,5 = 1,0,kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao eixo perpendicular ao seu plano, passando por um ponto na sua superfície externa, é 1,0,kg cdot m^2.

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