Um aro possui raio
e massa
. Qual seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular a seu plano, passando por um ponto de sua superfície externa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um aro com raio de
e massa de
. Precisamos descobrir o momento de inércia desse aro em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do aro e passa por um ponto na sua superfície externa. Vamos usar conceitos de física de rotação e a fórmula do momento de inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é girar o objeto.
Passo 3
Para encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa, podemos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos). Esse teorema nos diz que:
Onde:
-
é o momento de inércia em relação ao novo eixo. -
é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. -
é a massa do objeto. -
é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Sabemos que para um aro (ou anel) com raio
, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro (
) é:
Vamos calcular isso primeiro.
Passo 5
Agora, precisamos aplicar o Teorema de Steiner para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo que passa por um ponto na superfície externa do aro. A distância
entre o centro do aro e a superfície é igual ao raio
:
Passo 6
Aplicando a fórmula do Teorema de Steiner:
Calculando:
Resposta
O momento de inércia do aro em relação ao eixo perpendicular ao seu plano, passando por um ponto na sua superfície externa, é
.